идентификация правой части диффура (численный метод)

[cheshirski]

Здравствуйте,
не могли бы вы высказать мнение по поводу такого вопроса:
есть 3 дифференциальных уравнение второго порядка

\[ \frac{{\partial ^2 x}} {{\partial t^2 }} = a_x (t) \]

\[ \frac{{\partial ^2 y}} {{\partial t^2 }} = a_y (t) \]

\[ \frac{{\partial ^2 z}} {{\partial t^2 }} = a_z (t) \]

Задача состоит в идентификации правой части уравнений по измерениям x, y, z(измерения с некоторой погрешностью), причем информация об измерениях поступает отдельными порциями в заданные моменты времени и должна оперативно использоваться для определения требуемых характеристик процесса.
На мой взгляд задачу можно решать с помощью метода динамической регуляризации(разработанного Осиповым Ю.С.). В интернете видела ссылку на книгу "Основы метода динамической регуляризации" за его авторством, но найти нигде её не могу.
Хотелось бы увидеть ваши мнения!
Спасибо.

[Zai]

Если бы у Вас была задача Коши, а отискиваемая система уравнеий была линейной по смещениям и скоростям, то тогда можно было бы использовать что-то вроде метод Калмана. Суть его насколько я помню состоит в отискании 9 коэффициентов матрицы смещений и 9 коэффициентам матрицы демпфирования. Уже по первым нескольким точкам смещений по времени вы можите однозначно определить точное с математической точки зрения начальное приближение этих коэффициентов, решая систему нелинейных уравнений. В последующем Вам необходимо ввести невязку решения и ее норму на основе метода наименьших квадратов, чтобы весь рассматриваемый Вами интервал решения по времени значительно не отконялся от решения системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициенами. Насколько я знаю в 80-х годах, значимым успехом в решениии подобного рода задач была идентификация уравнений короткоприодического движения транспортного самолета с определением момента инерции самолета.

[cheshirski]

Zai, спасибо за ответ!
Про метод Калмана для определения правой части не слышала никогда, знакома только с калмановской фильтрацией, которую для коррекции измерений применяют.
Задача пока решена мной вот таким образом:
во-первых, взята система уравнений не второго порядка, а первого(то есть со скоростями, и скорости и координаты измеряются). В правые части уравнений было введено некоторое слагаемое, которое характеризует изменение ускорения(справа в уравнениях, по факту, ускорение). Это слагаемое требуется найти.

\[ \left\{ \begin{gathered} \frac{{dv_x }} {{dt}} = a_x (1 + \alpha _x ) \hfill \\ \frac{{dv_x }} {{dt}} = a_y (1 + \alpha _y ) \hfill \\ \frac{{dv_z }} {{dt}} = a_z (1 + \alpha _z ) \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Здесь

\[ \alpha _x ,\,\alpha _y ,\,\alpha _z \]

- искомые величины.
Нахожу я их следующим образом(на примере первого уравнения системы):
вводится вспомогательная функция

\[ z_h (t) \]

,

\[ z_h (0)\, = \,\tilde v_x (0) \]

, где

\[ \tilde v_x (0) \]

- наблюдаемое значение

\[ v_x \]

в начальный момент времени.
Искомая величина ищется в виде кусочно-постоянной функции.
Для каждого промежутка времени выполняется две операции:
1. минимизируется функционал для нахождения значения

\[ \alpha _x \]

на этом промежутке:

\[ t_0 (u)\, = \,2\left\langle {z_h (t_i ) - \tilde v_x (t_i ),a_x \alpha _x } \right\rangle + \alpha \left\| {\alpha _x } \right\|^2 \,\, \to \inf \]

,
здесь

\[ \alpha \]

- параметр метода.
2. находится

\[ z_h \]

:

\[ z_h (t)\, = \,z_h (0)\, + \,[a_x \alpha _x + a_x ](t - t_i ) \]

\[ z_h(t) \]

- кусочно-линейная функция.