Эмпирическая функция распределения

[Ward]

Здравствуйте, дорогие друзья!

Определение. Эмпирической функцией распределения для данной выборки $x_1, x_2, \dots, x_n$ называется функция

$$\hat{F}_{n}(x; x_1, \cdots, x_n)=\dfrac{1}{n}\sum \limits_{k=1}^{n}I_{(-\infty, x]}(x_k)=\dfrac{1}{n}\sum \limits_{k=1}^{n}I_{(x_k\leqslant x)},$$

где $I_A(x)=\begin{cases} 1, & x\in A \\ 0, & x\notin A \end{cases}$ - индикатор множества $A$

Если же выборка не фиксирована, а случайные величины $\xi_1, \dots, \xi_n,$ породившие эту выборку, независимы и одинаково распределены с функцией распределения $F(x)$, то можно рассматривать $\hat{F}_{n}(x; \xi_1, \cdots, \xi_n)$

Очевидно, что $n\hat{F}_{n}(x; x_1, \cdots, x_n)=\sum \limits_{k=1}^{n}I_{(\xi_k\leqslant x)}$$. Кроме того, нетрудно проверить, что индикатор множества является независимой случайной величиной, т.е. $I_{AB}(x)=I_A(x)I_B(x)$. Нетрудно проверить, что $\mathbb{E}[I_{(\xi_k\leqslant x)}]=P\{\xi_k\leqslant x\}=F_{\xi_k}(x)=F(x)$ и $D[I_{(\xi_k\leqslant x)}]=F(x)(1-F(x)).$
Да еще $n\hat{F}_n(x; \xi_1, \dots, \xi_n)$ имеет биномиальное распределение с параметрами $(n, p=F(x))$

У меня собственно такой вопрос возник: По свойству дисперсии имеем, что $D[n\hat{F}_n]=n^2D[\hat{F}_n]$. Ну это понятно.
А вот если так написать $D[n\hat{F}_n]=D[\hat{F}_n+\dots+\hat{F}_n],$ но так как $\hat{F}_n$ есть среднее индикаторов, т.е. независимых одинаково распределенных случайных величин, то $\hat{F}_n$ то же будут независимо одинаково распределенными случайными величинами, то $D[n\hat{F}_n]=D[\hat{F}_n+\dots+\hat{F}_n]=nD[\hat{F}_n]$
Здесь я пользуюсь тем свойством, что если $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ независимы, то $D(\eta_1+\eta_2+\dots+\eta_n)=D\eta_1+D\eta_2+\dots+D\eta_n$
С одной стороны я получаю, что $D[n\hat{F}_n]=n^2D[\hat{F}_n]$, а с другой $D[n\hat{F}_n]=nD[\hat{F}_n]$.
Скажите пожалуйста где тут я неправильно рассуждаю?

Ваш Ward.

[Whitaker]

Ward в сообщении #692476 писал(а):

$D[n\hat{F}_n]=D[\hat{F}_n+\dots+\hat{F}_n],$ но так как $\hat{F}_n$ есть среднее индикаторов, т.е. независимых одинаково распределенных случайных величин, то $\hat{F}_n$ то же будут независимо одинаково распределенными случайными величинами, то $D[n\hat{F}_n]=D[\hat{F}_n+\dots+\hat{F}_n]=nD[\hat{F}_n]$
Здесь я пользуюсь тем свойством, что если $\eta_1, \eta_2, \dots, \eta_n$ независимы, то $D(\eta_1+\eta_2+\dots+\eta_n)=D\eta_1+D\eta_2+\dots+D\eta_n$

Мне кажется, что подвох тут в том, что $\hat{F}_n$ не будут независимыми!
Определение: Случайные величины $\xi$ и $\eta$ называются независимы, если $P\{\xi=a \mid \eta=b\}=P\{\xi=a\}$
Ну я бы так сделал: Обозначим $\hat{F}_n=\zeta_n$ и проверяю вышеуказанное свойство (беру еще $a=b$):

$$P\{\zeta_n=a\mid \zeta_n=a\}=\dfrac{P\{\zeta_n=a,\zeta_n=a\}}{P\{\zeta_n=a\}}=\dfrac{P\{\zeta_n=a\}}{P\{\zeta_n=a\}}\equiv 1\neq P\{\zeta_n=a\}$$

(Оффтоп)

Может быть еще кто-нибудь ответит, скажет что-нибудь полезное так как у нас тут довольно немало спецов в теории вероятностей

[--mS--]

Одинаковые случайные величины независимы в том и только в том случае, когда они с вероятностью один постоянны.