Своя олимпиада

[Terraniux]

Всем доброго дня!

К некоторым есть решения.

(Оффтоп)

Еще вопрос есть: можно ли организовать свою олимпиаду? Или хотя бы предлагать свои задачи на уже существующие?

1. Решите уравнение $x^{x^{\sqrt{x}-1}}={\sqrt x}^{{\sqrt x}^{x-1}}$
2. Деревянный $n$-гранник, вписанный в сферу, и описанный около сферы, распилили плоской пилой на 2 многогранника. В результате получили два вписанно-описанных многогранника. При каких $n$ это возможно?
3. Пусть $\{x_1, x_2, \ldots, x_{2012}\}$ - перестановка чисел ${1, 2, \ldots, 2012}$. Какое количество разных значений принимает выражение $x_1+2x_2+\ldots +2012x_{2012}$?
4. На любых ли четырех попарно скрещивающихся прямых можно выбрать 4 точки так, чтобы эти точки стали вершинами а) правильной четырехугольной пирамиды, б) правильного тетраэдра.
5.
6. Имеются две пачки по $n+1$ карточек, на которых написаны числа (по одному) от $0$ до$n$. Возможно ли выложить обе пачки этих карточек таким образом, чтобы нули лежали рядом, между единицами лежала 1 карта... между $n$ лежало $n$ карточек, если:
а) $n=2013^{2012}$
б) $n$ - произвольное натуральное?
7. По ребрам правильного октаэдра бегает муравей со скоростью, не превышающей $v$, а по поверхности – паук со скоростью, не большей $u$. Известно, что паук может двигаться так, чтобы догнать муравья, как бы ни двигался последний.
а) Каково наименьшее значение выражения $ u:v$?
б) Как изменится ответ, если паук бегает только по ребрам?
в) А если по всему объему октаэдра?
8. Существует ли в пространстве такое расположение 2012 выпуклых многогранников, что никакие три не имеют общей точки, а любые 2 имеют общий отрезок?

[Cash]

1. Выписываем $x=1$, логарифмируем.
$x^{\sqrt x -1}=\frac 12 x^{\frac 12 (x-1)}$
Для простоты, вводим $t=\sqrt x$
$2t^{2t-2}=t^{t^2-1}$ и логарифмируем

$1+(2t-2)\log_2t=(t^2-1)\log_2t$
Получаем, что
$\log_2t=\dfrac 1{(t-1)^2}$
При $t > 1$ слева возрастает, справа убывает - один корень $t=2$.

[Cash]

6. Пусть мера вклинивания - количество карточек, расположенных между одинаковыми, где каждая карточка считается столько раз, сколько раз она вклинивается между одинаковыми. Мера вклинивания искомой последовательности - $n(n+1)/2$.
Легко видеть, что любая транспозиция (перестановка соседних карточек) не меняет четность меры вклинивания. А поскольку мы можем из последовательности $001122 \ldots nn$ с нулевой мерой с помощью транспозиций прийти к произвольной последовательности, то мера вклинивания всегда четна. Значит, либо $n$, либо $n+1$ делится на $4$.
Поэтому ответ на задачу а) - отрицательный
Скорее всего, четности меры вклинивания и достаточно для существования нужной нам последовательности. Проверил для n = 3, 4, 7, 8 - последовательности есть, причем для 7 и 8 их уже очень-очень много, но указать для подходящего $n$ конкретную - затрудняюсь.

(Оффтоп)

А задачи нравятся. Стереометрия - не моё, но тоже, по-моему, неплохи... Если не секрет, откуда этот набор?

[Terraniux]

Cash в сообщении #692094 писал(а):

6. Пусть мера вклинивания - количество карточек, расположенных между одинаковыми, где каждая карточка считается столько раз, сколько раз она вклинивается между одинаковыми. Мера вклинивания искомой последовательности - $n(n+1)/2$.
Легко видеть, что любая транспозиция (перестановка соседних карточек) не меняет четность меры вклинивания. А поскольку мы можем из последовательности $001122 \ldots nn$ с нулевой мерой с помощью транспозиций прийти к произвольной последовательности, то мера вклинивания всегда четна. Значит, либо $n$, либо $n+1$ делится на $4$.
Поэтому ответ на задачу а) - отрицательный
Скорее всего, четности меры вклинивания и достаточно для существования нужной нам последовательности. Проверил для n = 3, 4, 7, 8 - последовательности есть, причем для 7 и 8 их уже очень-очень много, но указать для подходящего $n$ конкретную - затрудняюсь.

(Оффтоп)

А задачи нравятся. Стереометрия - не моё, но тоже, по-моему, неплохи... Если не секрет, откуда этот набор?

Красивые решения!
Первую я решал немного по-другому: через следствие $x^{x^{y-1}}=y^{y^{x-1}} \Rightarrow x^y = y^x $.
6-ю, к сожалению, не решил.
Ну а во второй решение такое:

(Оффтоп)

Рассмотрим правильную $n$-угольную пирамиду. Она, очевидно, вписана и описана. Параллельной основанию касательной к вписанной сфере разрежем пирамиду на 2 многогранника. Один из них - пирамида, подобная исходной, а второй - усеченная пирамида, которая также вписана (легко проверить), и по методу получения - описана. Поэтому, ответ - $n$ - любое натуральное

К некотрым есть ответ, но пока решения приводить не буду (не уверен, да и не все доделано):

(Оффтоп)

4а - да, 4б - нет. 7а) $\frac {1}{\sqrt2}$, 7б) никак, 7в) $\frac {1}{\sqrt3}$. 8 - существует.

(Оффтоп)

Рад, что вам понравились задачи! На самом деле, эти задачи составлены мной. Ну как. Задачи 1, 4 и 7 - чисто мной (нигде не видел подобных перед тем, как создать. Но, возможно, где-то есть такие на просторах Земли). Задачи 2, 3, 6 и 8 - по подобию задач, которые видел. Где-то больше своего добавил, где-то меньше. Часть этого списка (хотя бы одну) мне хотелось бы предложить организаторам ММО