Ландау, Лифшиц. Функция Ганкеля

[r0ma]

Долго думал куда написать - сюда или в физику. В общем, народ математики, помогите. Все глаза проглядел. Хотя может плохо глядел.
В Ландау-Лифшице, т.3, пар. 45 "Потенциальная энергия как возмущение", в конце параграфа во 2ой задаче есть такая фраза, что решение уравнения

$$r^{-1}\partial_r\, (r\partial_r)\psi+B^2\psi=0$$

в цилинрической СК есть функция Бесселя 3го рода - функция Ганкеля от мнимого аргумента (в моих обозначения $H_0^{(1)}(iBr)$ - переобозначение В ввёл специально для сокращения: в моём вопросе от него мало что зависит). Ладно, с этим я ещё могу смириться. Дальше же он говорит, что при малых значениях эта функция Ганкеля асимпотитечски представима в виде логарифма $\ln Br$. В справочниках искал, но там везде на бесконечности получали экспоненту. Около точки 0 нигде не видел. Может опять же плохо смотрел. Дальше, по ходу решения этой задачки вроде бы надо взять производную по полярной координате в точке $r=a$. У него откуда-то берётся $\frac{1}{a\ln(Ba)}$. Откуда? Как он так продифференцировал? Если дифференцировать асимптотику (т.е. логарифм), то такого выражения явно не получится. Или может я просто не понимаю термин "логарифмические производные".

[ИСН]

Логарифмическая производная - это когда в тёмной подворотне от Вас берут логарифм, а потом ещё и производную.

[r0ma]

ИСН в сообщении #691868 писал(а):

Логарифмическая производная - это когда в тёмной подворотне от Вас берут логарифм, а потом ещё и производную.

Тогда вопросы по математике отпали. Появился тогда другой вопрос. Правда, к физикам. Не буду же дублировать эту тему и задам тогда вопрос математикам по физике. Значит он получил два решения: в яме и вне ямы. Точнее, для области в яме, он получил производную от $\psi$. Было бы логично и вне найти именно производную $\psi$ и их сшить на границе ямы. Он по неведомым мне лично причинам, берёт логарифмическую производную. Т.е. сначала берёт $\ln \psi$, а потом её ещё и дифференцирует. И уже только затем сшивает почему-то $(\ln\psi)_{r}^{'}$ и $\psi_{r}^{'}$ при $r=a$. Вопрос: почему берётся именно такая сшивка?

-- Ср мар 06, 2013 19:37:22 --

А не. Стоп. Путаю. Он сшивает и в той и в другой области логарифмические производные. Тогда вопрос опять к математкиам. Не понимаю как тогда он сосчитал логарифмическую производную от равенства (1). И зачем вообще сшивать логарифмические производные, когда, мне кажется, и обычных-то бы за глаза хватило?..

-- Ср мар 06, 2013 19:43:02 --

Ничего вообще не понимаю.... Чё он там наделал с этими производными?.. В области в яме у него есть решение $\psi_r^'$. В области вне ямы у него есть асимптотика (т.е. тоже решение) $\psi$. Раз функция должна быть однозначной, то взять тогда производную от $\psi$ вне ямы и приравнять с производной (уже найденной) в яме. А он вообще чем там занимается?

[mihiv]

Решается однородное уравнение, его решение может быть умножено на произвольную постоянную. Логарифмические производные удобны тем, что условие сшивания не зависит от произвольных постоянных.

[r0ma]

mihiv в сообщении #691904 писал(а):

Решается однородное уравнение, его решение может быть умножено на произвольную постоянную. Логарифмические производные удобны тем, что условие сшивания не зависит от произвольных постоянных.

Не очень понял. Более развёрнуто поясните? Нет, про однородное с константой ясно. Я имею ввиду второе Ваше предложение про логарифмические производные.

[mihiv]

Логарифмическая производная равна $\dfrac {\psi ^'}{\psi }$ . При умножении $\psi $ на произвольную постоянную лог. производная не изменяется.

[r0ma]

Просветлел!
Однако, с ЛЛ до конца так и не разобрался. В (1) у него написана просто производная $\psi '$. Однако, далее по тексту он это производную приравнивает с логарифмической производной от $\ln\varkappa r$. Почему? Буквально написано:

Цитата:

... Имея это в виду, приравниваем при $r \propto a$ логарифмические производные от $\psi$, вычисленные в яме (правая часть равенства (1)) и вне её, и получаем...

Но в правой части равенства (1) написана лишь производная от $\psi$ по $r$. По его логике, надо вычислить ещё просто $\psi$ (что мне не очень ясно как сделать) и лишь потом приравнивать. Как тут быть? Раз пьянка такая пошла, разжуйте?

[mihiv]

Он считает, что в яме $\psi $ равна постоянной, которую принимает равной 1, поэтому лог. производная равна $\psi ^'$.

[r0ma]

mihiv в сообщении #691941 писал(а):

Он считает, что в яме равна постоянной, которую принимает равной 1, поэтому лог. производная равна .

А.. точно. Мой косяк. Забыл. Большое спасибо!

-- Ср мар 06, 2013 22:27:22 --

Хотя в ЛЛ с точки зрения подхода - это немного непонятный шаг. Раз в яме считается, что $\psi$ постоянная, то казалось бы и производная должна быть равной нулю. Однако, нет. Производная нулю не равна вовсе. Конечно, он считает её медленно меняющейся, т.к. яма очень мелкая, потому что уровень сильно делокализован, т.е. масштаб волновой функции по-сравнению с характерным масштабом ямы очень большой. И она как бы стремится к некой константе на масштабах самой ямы. Но производная тем не менее не равна нулю. Хотя сама функция постоянная. Вот, в общем...

-- Ср мар 06, 2013 22:48:09 --

А так вообще всегда можно делать? Функцию считать постоянной, а её производную за нуль не считать? Это типа как теория возмущений получается? Функция представляется как постоянная составляющая плюс какое-то возмущение?

[Утундрий]

r0ma в сообщении #691943 писал(а):

в ЛЛ с точки зрения подхода - это немного непонятный шаг

Логарифмическую просто экономнее считать. У первого Л. был бзик на почве упрощений и тривиализаций. Без ущерба для понимания можете наплевать на все эти штуки и вычислять и приравнивать сами производные. Получится хоть и громоздко, зато безвариантно.

[r0ma]

Кстати, только сейчас заметил. А откуда у него в конце минус взялся? Перед этим вроде всё более-менее честно, в предыд. формуле всё без минусов. А в итоге (в ответе) минус в экспоненте?

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #691997 писал(а):

У первого Л. был бзик на почве упрощений и тривиализаций.

вообще говоря, полезный...

[mihiv]

r0ma в сообщении #692154 писал(а):

в итоге (в ответе) минус в экспоненте?

Т.к. состояние связанное, то $U(r)<0$, и $U(r)=-|U(r)|$ .

[r0ma]

mihiv
Это ясно. Но там же не $U(r),$ а $\int_{0}^{\infty}U(r)rdr.$ И раз он взял модуль, то он полагает, что значение этого интеграла отрицательно. Почему? Да. Состояние связанное. Да. Сам потенциал меньше нуля. Но чтобы резко сказать, основываясь только на этом, что интеграл весь в целом меньше нуля... Как-то не очень логично.

[r0ma]

Думал, но моя думка оказалась слабовата, и я так и не понял, почему же значение $\int_{0}^{\infty}rU(r)dr$ отрицательно. Или мне надо уже в физику с этим вопросом идти? Можно ли тогда эту тему туда перенести, чтобы не дублировать вопрос? Мне всё-таки интересно довести задачу до ума. Но раз своего не хватает, прошу на неопределённый срок думу участников форума. Ведь $U(r)\ -$ это малое возмущение в этой задаче, близкое к нулю. А $r$ от нуля до аж бесконечности меняется.

-- Пт мар 08, 2013 20:05:02 --

А, ёлки! Оно ж отрицательно, а $r$ положительно. Внезапно осенило. Понял. Вопрос снят. Вещь в себе. Прошу прощение за возмущение.