Комбинаторика. Разделение на группы.

[ean]

Нужно посчитать количество способов, которых 5 человек можно разделить по 3ём группам (возможны пустые группы).
Я пытался решать задачу со следующей стороны: $a+b+c=5$, где $a$, $b$ и $c$ - количество людей в группах. То есть, нам нужно посчитать количество неупорядоченных выборок по три числа из шести элементов (от 0 до 5) с возвратом, но при этом наложить ограничение, $a+b+c=5$.
Первая часть понятна $C^3_{6+3-1}=C^3_8=56$, но как из этого убрать все варианты, когда условие не выполняется, я не знаю.

[Whitaker]

ean
а люди между собой различимы?
Скажем 5 человек это: А, Б, В, Г, Д.
A|Б|ВГД и В|A|БГД это различные группы или нет?

(Оффтоп)

черточка "|" означает разделение между группами

[ean]

неразличимы, нам всё равно кто именно попадёт в какую группу

[Whitaker]

ean
Если я правильно Вас понимаю, что группы $2+0+3$ и $3+0+2$ это уже разные да?

P.S. Если такие группы различимы, то ответ к Вашей задаче это то же самое, что и число решений уравнения $x+y+z=5$ в неотрицательных числах.

[ean]

нет, опять же неразличимы
в конечном итоге мне нужно будет посчитать веротяность, например, случая, когда в одну группу не попадёт ни одного человека. все исходы равновероятные, поэтому я предполагал считать количество таких вариантов и делить на количество вообще возможных распределений

[Whitaker]

Ну если так, то искомая величина равна 4. Получаются такие конструкции: $2+2+1, 3+1+1, 4+1, 5+0$

(Оффтоп)

Честно говоря условие задачи я не понял... если и это не совпадает тогда подумайте ... может быть Вы чего-то неправильно понимаете

[ean]

ну посчитать для небольшого числа случаев я могу, хочу понять общий подход
изначально задача звучит так:
5 человек, 4 группы. Какова вероятность а) что хотя бы в одну группу не попадёт ни один человек, б) что ровно в одну группу не попадёт ни один человек

[ex-math]

Если и люди и группы неразличимы, то для $n$ людей и $k$ групп число способов -- это число разбиений $n$ с не более чем $k$ частями, т.е. число решений уравнения $x_1+\ldots+\x_k=n$ в целых числах $0\leqslant x_1\leqslant\ldots\leqslant x_k$. Известно, что эта величина равна числу разбиений $n$ с частями, не превосходящими $k$. Для $n=5$, $k=3$ это 5 ($5,1+4,1+1+3,2+3,1+2+2$ или же $1+1+1+1+1,1+1+1+2,1+2+2,1+1+3,2+3$). Погуглите теорию разбиений.

[Whitaker]

ean
Пользователь ex-math Вам дал очень ценную подсказку!
А про число разбиений $p_k(n)$ Вы можете прочитать например в следующих книжках:
1) М. Холл "Комбинаторика". Издательство "Мир". Москва, 1970 г.
2) Г. Эндрюс "Теория разбиений". Издательство "Наука". Москва 1982 г.