И снова интеграл

[main.c]

$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx =\int \frac{x^2 + 1 - 1}{(1+x^2)^2}dx = \int \frac{1}{1+x^2}dx - \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx = \arctg x - \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx $, как мне взять второй интеграл?

[devgen]

Разложите на сумму простейших дробей

[gris]

Кстати, первоначальный интеграл должен преспокойно браться по частям.

[main.c]

gris в сообщении #691502 писал(а):

Кстати, первоначальный интеграл должен преспокойно браться по частям.

Но не сразу ведь по частям?.....я думаю сначала что-то под знак дифф. внести или всё-таки сразу?

[Sonic86]

Интегралы $I_n=\int\frac{dx}{(1+x^2)^n}$ рекуррентно выражаются друг через друга ($I_{n+1}$ через $I_n$) одинаковым образом.
Попробуйте продифференцировать $\frac{x}{x^2+1}$ - в результате получите подынтегральное выражение. Выразите искомый интеграл через полученное соотношение через более простые интегралы.

[gris]

Если в интеграле видны сомножители, один из которых хорошо интегрируется, а другой дифференцируется, то надо это использовать.

$$\int \dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}\,dx =\int x\cdot\dfrac{x}{(1+x^2)^2}\,dx =... $$

В подобных интегралах, кстати, удобно использовать вспомогательные $u$ и $v$, которые в более простых случаях употреблять неприлично.

[ewert]

main.c в сообщении #691496 писал(а):

$\int \frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx =\int \frac{x^2 + 1 - 1}{(1+x^2)^2}dx = \int \frac{1}{1+x^2}dx - \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx = \arctg x - \int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx $, как мне взять второй интеграл?

Если коротко, то Вы пошли в противоположном направлении по отношению к правильному. Наоборот, правый интеграл нужно при необходимости сводить к левому. Ну а левый -- да, по частям. Как gris предупредительно посоветовал, ещё более предупредительно разбив подынтегральное выражение на два сомножителя.

[main.c]

$\int \frac{\ln x+2}{x(1 - \ln x - \ln^2 x)}dx =\int \frac{\ln x+2}{x(5/4-(\ln x +1/2)^2)}dx$, делаю замену $z = \ln x+1/2$, получаю$ \int \frac{z+3/2}{e^{z - 1/2}(5/4 - z^2)}dz$, как здесь избавиться от экспоненты?

[gris]

Внимательней делайте замену. Никакой экспоненты там нет.

[main.c]

Всё, вопрос отпал