Волновое уравнение: одномерное движение частицы

[g______d]

Может быть, обсуждение просто-напросто отдельно выделить?

ewert в сообщении #691359 писал(а):

Все четыре -- из пушки по воробьям (разве что второй способ идеен, но за ним стоит довольно продвинутая теория). Есть вполне стандартный, элементарный и довольно простой способ доказательства. Надо умножить то кусочно-синусоидальное решение на $\frac1{\sqrt n}\varphi(\frac{x}n)$, где $\varphi(t)$ -- некоторая гладкая и достаточно быстро убывающая функция. Для полученной последовательности функций $u_n(x)$ очень легко, практически на автомате доказывается, что $\|u_n\|\geqslant\mathrm{const}$, в то время как $\|Hu_n-Eu_n\|\to0$; это ровно и означает, что точка $E$ принадлежит непрерывному спектру.

Да, так проще, конечно, спасибо.

ewert в сообщении #691359 писал(а):

В его "определении" практически сохраняется требование квадратичной суммируемости (боюсь сказать, полностью ли, но практически сохраняется). Конкретно для задачки: любое решение $u(x)$, отвечающее непрерывному спектру, ни в жисть скалярно не умножишь на, скажем, вполне себе нормируемую функцию $u(x)\cdot\frac1{\sqrt{1+x^2}}$. Откуда и вывод: ни одна точка непрерывного спектра не является точкой непрерывного спектра.

Да, в начале параграфа 9 главы 5 дается это определение. По-моему, понятно, что если скалярное произведение с любой квадратично суммируемой функцией конечно, то и сама функция квадратично суммируема. Принцип равномерной ограниченности.

Но зато дальше в том же параграфе есть другое определение, и оно, вроде бы, корректное (опять же, для достаточно хороших потенциалов) и фактически соответствует определению спектральной меры.

-- 05.03.2013, 16:07 --

Munin в сообщении #691378 писал(а):

Вопрос о дискретности уровней - это вопрос о дискретности множества решений уравнения. Он решается как вопрос количественного характера, а не качественного.

Нет. Обычно дискретность спектра следует из каких-то общих соображений, а вот точно найти сами собственные значения можно только в модельных задачах. Обычно стараются оценить.

-- 05.03.2013, 16:09 --

Munin в сообщении #691398 писал(а):

У Мессиа-то всё нормально написано. Ваш пересказ страдает.

Ну вот не всё там нормально написано. В частности, начало параграфа 9 главы 5; и это как раз студенту было бы полезно знать.

[Munin]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #691426 писал(а):

Может быть, обсуждение просто-напросто отдельно выделить?

Нелепо было (для "заслуженного участника") с самого начала захватывать тему, да ещё и грубить. Если бы ewert захотел рассмотреть академический вопрос, который его заинтересовал, он бы легко мог открыть для этого новую тему. На деление тем модераторы идут неохотно, увы, к тому же часто это невозможно проделать чётко.

[ewert]

g______d в сообщении #691426 писал(а):

Но зато дальше в том же параграфе есть другое определение, и оно, вроде бы, корректное (опять же, для достаточно хороших потенциалов) и фактически соответствует определению спектральной меры.

В этом параграфе ничего подобного не заметил. Дальше, в 9-м параграфе 5-й главы, действительно определяется что-то подобное спектральной мере (не называемой по имени). Но это уже гораздо позже; да и в любом случае -- не для столь шаблонной учебной задачки же! Так что вопрос о том, что имел в виду её составитель, остаётся открытым.

[g______d]

В целом (если вернуться к учебной задаче), скорее всего, ошибок не будет если считать дискретный спектр множеством энергий, при которых есть квадратично суммируемое решение (обычно оно при этом будет экспоненциально убывающим), а непрерывный --- множеством энергий, при которых есть ограниченное решение.

[ewert]

g______d в сообщении #691438 писал(а):

скорее всего, ошибок не будет если считать дискретный спектр множеством энергий, при которых есть квадратично суммируемое решение (обычно оно при этом будет экспоненциально убывающим), а непрерывный --- множеством энергий, при которых есть ограниченное решение.

Первое -- безусловно, связанные состояния всегда и всеми ровно так и определяется, что математиками, что физиками. При этом конкретно экспоненциальность убывания -- это уже лишь бантики, а терминологические нюансы типа различия между дискретным и точечным спектром -- лишь семечки.

Второе -- да, в контексте именно этой задачи скорее всего. Но формально вопрос открыт.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #691436 писал(а):

Но это уже гораздо позже; да и в любом случае -- не для столь шаблонной учебной задачки же! Так что вопрос о том, что имел в виду её составитель, остаётся открытым.

Вам бы полезно было отличать составителей шаблонных задачек от людей, обращающихся за помощью и разъяснениями...

[g______d]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #691359 писал(а):

Все четыре -- из пушки по воробьям (разве что второй способ идеен, но за ним стоит довольно продвинутая теория). Есть вполне стандартный, элементарный и довольно простой способ доказательства. Надо умножить то кусочно-синусоидальное решение на $\frac1{\sqrt n}\varphi(\frac{x}n)$, где $\varphi(t)$ -- некоторая гладкая и достаточно быстро убывающая функция. Для полученной последовательности функций $u_n(x)$ очень легко, практически на автомате доказывается, что $\|u_n\|\geqslant\mathrm{const}$, в то время как $\|Hu_n-Eu_n\|\to0$; это ровно и означает, что точка $E$ принадлежит непрерывному спектру.

Так, стоп, это на самом деле ровно и есть мой пункт 2. Вы доказываете на самом деле тоже только про существенный спектр. А дальше что у меня, что у Вас остается доказать, что не бывает бесконечнократных собственных значений; это очевидно из того, что есть только 2 решения.

[ewert]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #691474 писал(а):

Так, стоп, это на самом деле ровно и есть мой пункт 2. Вы доказываете на самом деле тоже только про существенный спектр.

На самом деле нет. При положительных энергиях ведь в этой игрушке заведомо нет точечного спектра вообще, независимо от кратности. Так что конкретно тут это критерий принадлежности именно непрерывному спектру. И компактность возмущения тут не при чём -- это чересчур уж тяжёлая артиллерия.