Матиндукция, утверждение о делимости

[mkadish]

Deggial: Тема отделена от архивной. Формулы оформлять надо все.

Приветствую!

Не особо я помню математику, а ребёнку нужно объяснить, как решать задачи.

Докажите, что при любом целом $n\geqslant 1$ число $5^n+2\cdot3^n+5$ делится на 8 без остатка.
Докажите, что при любом целом $n\geqslant 1$ число $20^n+16^n-3^n-1$ делится на 32 без остатка.

Посмотрел я теорию и примеры решёных задач. То что я понял: Мы проверяем утверждение при $n=1$, потом предполагаем, что при некотором значении к это утверждение тоже верно, а потом проверяем его при $k+1$. При этом приводим слагаемые выражения так, чтобы оно делилось на выражение, полученное при $n=k$ или на то число, на деление на которое без остатка мы доказываем.

$k$: $5^k+2\cdot3^k+5$
$k+1$: $5^k^+^1+2\cdot3^k^+^1+5=5\cdot5^k+2\cdot3\cdot3^k+5=5(5^k+2\cdot3^k+5)-4\cdot3^k-20$

С первым слагаемым, как будто всё хорошо, но вот последние два на 8 не делятся.

Сорри, давно я не занимался математикой, где я ошибаюсь?

[ewert]

mkadish в сообщении #691063 писал(а):

но вот последние два на 8 не делятся.

Это по отдельности. А вместе?...

Подсказка: 3 -- число нечётное.

[mkadish]

Спасибо за подсказку, но я не догоняю. Я понимаю, что я чего-то просто не помню: какого-то правила или свойства.

[ewert]

Какое количество четвёрок в любом случае прибавляется к двадцатке?...

Впрочем, если хотите помучиться, то можете доказать делимость того хвостика тоже по индукции. Запретить-то ведь никто не в силах.

[mkadish]

А, ну минимум одна, будет в сумме 24, потом 32, 56, т. е. эта сумма в любом случае будет делиться на 8.

[nikvic]

mkadish в сообщении #691063 писал(а):

ребёнку нужно объяснить, как решать задачи

Объясните как-нибудь ""арифметику по модулю...