Преобразование в диффурах

[Unconnected]

Пусть при решении диф. уравнения пришли к равенству:

$\ln{|y|} = \ln{|x|} + C$

т.е. имеем: $f(y) = g(x,C)$, где $ x,y \neq 0, C$ - любое. Нас учат, что можно равенство выше приравнять к $\ln{(Cx)}$.
Каким формальным преобразованием можно к этому прийти? Ведь, выходит, $g(x,C) = h(x,C)$, где оба аргумента должны быть одного знака, и $С \neq 0$. Т.е. функции от двух аргументов приравниваются на разном ОДЗ?..

[Someone]

Ну, поскольку $C$ - это произвольное число, мы можем записать его в любом удобном виде, лишь бы по-прежнему было произвольное число, например, $\ln|C|$. А равенство $\ln|y|=\ln|x|+\ln|C|$ преобразуется в $|y|=|Cx|$, то есть, либо $y=Cx$, либо $y=-Cx$. От второго варианта можно избавиться, определив $C$ так, чтобы было $C>0$, если $x$ и $y$ одного знака, и $C<0$, если $x$ и $y$ разных знаков.

[ewert]

$\ln|y|=\ln|x|+C\;(\forall C)\ \Leftrightarrow \ \ln|y|=\ln|x|+\ln C_1\;(\forall C_1>0)\ \Leftrightarrow \ $

$\Leftrightarrow \ |y|=C_1|x|\;(\forall C_1>0)\ \Leftrightarrow \ y=\pm C_1x\;(\forall C_1>0)\ \Leftrightarrow \ y=C_2x\;(\forall C_2\neq0)$

(индексы здесь исключительно для красоты -- формально они не нужны). И надо ещё иметь в виду, что $C_2=0$, скорее всего, тоже допускается -- обычно это особый случай, потерянный по ходу предыдущего решения.

[Unconnected]

А что значит равносильность между двумя уравнениями, где есть x,y,C ?

[SpBTimes]

Ну имели в виду тождественные преобразования, хотя и не везде стоит ставить равносильность (не везде они так уж и тождественны, ведь получаем в конце-то концов $C \neq 0$, а кое-где лишь следствие (в одну сторону)

[Unconnected]

Можете формально написать "тождественность" перехода от $\ln|y| = \ln|x| + C$ к $\ln|y| = \ln{(Cx)}$ ? Т.е. что там остаётся неизменным, в чём проявляется равносильность?

У меня такое представление, что, для любой фиксированной $C_1$ в первом уравнении множество пар-решений $(x,y)$ должно быть равно множеству пар-решений для фиксированного во втором уравнении $C_2$. Но этого не наблюдается..

[SpBTimes]

Может быть, короче так (хотя выше - то же самое):
$e^{\ln|y|} = e^{\ln|x| + C} \Leftrightarrow |y| = e^{C}|x| \Leftrightarrow y = \pm e^{C}x$
Теперь, при $C \neq 0$ получим, что $e^C = C_1 > 0$. Откуда $y = C_2x $, где $C_2 \neq 0$
В случае, когда $C = 0$ получаем, что $y = \pm x$

[Unconnected]

Понял, спасибо!

[Someone]

SpBTimes в сообщении #690789 писал(а):

Теперь, при $C \neq 0$ получим

А чего там плохого при $C=0$, что его надо запрещать? Вот ограничение $C_2\neq 0$ при таких преобразованиях действительно выплывает.

[iifat]

ewert в сообщении #690444 писал(а):

$ \ y=\pm C_1x\;(\forall C_1>0)\ \Leftrightarrow \ y=C_2x\;(\forall C_2\neq0)$

Вот этот, последний, переход -- неправильный. Слева две прямых, справа одна. Общий набор прямых совпадает, согласен, но решение уравнения -- таки пара прямых.

[ewert]

iifat в сообщении #690885 писал(а):

Слева две прямых, справа одна.

Это оптическая иллюзия. И слева, и справа -- бесконечный набор прямых. Причём один и тот же, только по-разному описанный.

[SpBTimes]

Someone в сообщении #690862 писал(а):

А чего там плохого при $C=0$, что его надо запрещать? Вот ограничение $C_2\neq 0$ при таких преобразованиях действительно выплывает.

Виноват

[iifat]

ewert в сообщении #690898 писал(а):

Это оптическая иллюзия

Ни разу не иллюзия. $y=x$ не является частным решением исходного уравнения. $|y|=|x|\Leftrightarrow y=\pm x$ -- является.

[ewert]

iifat в сообщении #691042 писал(а):

$y=x$ не является частным решением исходного уравнения. $|y|=|x|\Leftrightarrow y=\pm x$ -- является.

Верно с точностью до наоборот: $|y|=|x|$ или $y=\pm x$ не являются частными решениями попросту потому, что это -- не функции.

[iifat]

Хм. Не функции, согласен. Но всё же решение $\ln\left|y\right|=\ln\left|x\right|$ -- не прямая y=x, а таки крест с выколотой, кстати, точкой пересечения.
Подумалось, а решение вот такого $x+yy'=0$ -- семейство окружностей? Или таки полуокружностей?