Ярославский областной турнир матбоев. Финал юниорской лиги

[Macavity]

V.V. писал(а):

2. Найти все натуральные числа, которые равны квадрату количества своих натуральных делителей.

Пусть N такое число, которое соответствует условию задачи. Если некоторое k его натуральный делитель, то очевидно, что и N/k также его натуральный делитель. Выпишем все натуральные делители числа N (попарно) из предположения, что их число максимально.

$2$, $\frac{N}{2}$
$3$, $\frac{N}{3}$
$4$, $\frac{N}{4}$
$5$, $\frac{N}{5}$
....
$\sqrt{N}$, $\frac{N}{{\sqrt{N}}}$

Заметим, что в нашем случае (по условию) число N является точным квадратом, а это, в свою очередь, означает, что числа $\sqrt{N}$ и $\frac{N}{{\sqrt{N}}}$ равны.
Поскольку все делители выписаны попарно, то максимальное число делителей может быть не более чем 2(\sqrt{N}-2)+1

Отметим также, что так как N - полный квадрат, то исходя из вышеприведенных соображений оно нечетно! Это означает, что 2,4,6... не являются делителями N, но соответственно и сопряженные им $\frac{N}{2}$, $\frac{N}{4}$ и т.д., тоже не являются натуральными делителями нашего N.

Следовательно, после удаления строк с четными делителями оказывается, что натуральных делителей может быть не более \sqrt{N}-1, но по условию задачи их должно быть \sqrt{N}. Получили противоречие. Следовательно, числа описанные в условии задачи не существуют.

[ИСН]

Macavity писал(а):

Получили противоречие. Следовательно, числа описанные в условии задачи не существуют.

Итак, число 9 не существует (делители - 1, 3, 9, всего 3 штуки).
Как страшно жить!

[neo66]

Мужайтесь! Число $1$ тоже не существует.

Но, слава Богу! Остальные числа, кажется существуют .

[Macavity]

ИСН писал(а):

Macavity писал(а):

Получили противоречие. Следовательно, числа описанные в условии задачи не существуют.

Итак, число 9 не существует (делители - 1, 3, 9, всего 3 штуки).
Как страшно жить!

О, а я почему-то решил, что 1 и само число не входит...
Ну что ж, вероятно я решил другую задачу..
Действительно страшно страшно...

[neo66]

V.V. писал(а):

2. Найти все натуральные числа, которые равны квадрату количества своих натуральных делителей $\phi(n)$.

Задачка не совсем и олимпиадная. Решается в лоб.
Пусть $n=p_1^{2a_1}p_2^{2a_2}.....p_k^{2a_k}$, $a_i\geq 0$. Тогда $\phi(n)=(2a_1+1)(2a_2+1).....(2a_k+1)$. То есть, надо решить уравнение:
$p_1^{a_1}p_2^{a_2}.....p_k^{a_k} = (2a_1+1)(2a_2+1).....(2a_k+1)$. Но, $p^{a}\geq 2a+1$, причем равенство достигается только, если $a=0$ или $p=3, a=1$. Поэтому $n=1$ или $9$. И больше решений нет.

[neo66]

V.V. писал(а):

5. В невозрастающей последовательности из 100 положительных действительных чисел сумма первых двух чисел не более 100, сумма оставшихся чисел также не более 100. Какое наибольшее значение может принимать сумма квадратов чисел в данной последовательности?

У меня получается $100^2$. Кто больше?

[Macavity]

neo66 писал(а):

V.V. писал(а):

5. В невозрастающей последовательности из 100 положительных действительных чисел сумма первых двух чисел не более 100, сумма оставшихся чисел также не более 100. Какое наибольшее значение может принимать сумма квадратов чисел в данной последовательности?

У меня получается $100^2$. Кто больше?

Мне кажется, что эти задачи плохо сформулированы. Они, конечно в большинстве несложные, но все время хочется подрихтовать условие.

В этой задаче имеется ввиду, что a_i >= a_{i+1}, тогда a_1=a_2=a_3=a_4=50.

V.V. писал(а):

1. Найти все тройки p, q, r, что уравнения
$x^2+px+q=0$ (1);
$x^2+qx+r=0$ (2);
$x^2+rx+p=0$ (3)
имеют корни, причем корнями первого являются числа q и r (и только они), второго - p и r (и только они), а третьего -- q и p (и только они).

Ответ похоже - все числа равны нулю.Хотя не понятно и только они или не только они?