Обобщение ВТФ, пифагоровы тройки.

[tango]

Для любого натурального $n > 2$ нет таких натуральных $a, b, c, d$, что выполняется равенство $a^n + b^n = c^n + d^n$, кроме тривиального случая $a = c$ и $b = d$
При $d = 0$ получаем ВТФ.

Для пифагоровых троек:
Существуют такие натуральные $a, b$ и $c, d$, что выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2 + d^2$, помимо тривиального случая $a = c$ и $b = d$

[venco]

tango в сообщении #689254 писал(а):

Для любого натурального $n > 2$ нет таких натуральных $a, b, c, d$, что выполняется равенство $a^n + b^n = c^n + d^n$, кроме тривиального случая $a = c$ и $b = d$

Голословное утверждение.

$1^3+12^3=9^3+10^3$

[AKM]

tango,

зачем Вы публикуете утверждение, не сопровождаемое ни доказательством, ни просьбой доказать/опровергнуть, ни просьбой прокомментировать???

Извольте прочитать Правила форума на предмет оформления дискуссионных тем.

[tango]

Цитата:

утверждение, не сопровождаемое ни доказательством, ни просьбой доказать/опровергнуть, ни просьбой прокомментировать???

Извольте прочитать Правила форума на предмет оформления дискуссионных тем.[/mod]

Спасибо. Доказательств, увы, нет.
Доказать/опровергнуть/прокомментировать - а зачем же еще приходить с чем-либо на форум? Про особые правила для дискуссионнных - прошляпил, прошу прощения.

-- 28.02.2013, 22:42 --

[b]venco, спасибо. А если единичку тоже запретить как "тривиальную". Вообще, прошу прощения. Завтра попробую на машине какой-нито алгоритм для поиска таких корней. О результатах доложусь.

[venco]

tango в сообщении #689331 писал(а):

venco, спасибо. А если единичку тоже запретить как "тривиальную".

С чего это вдруг она тривиальная? Да и без неё решений бесконечное количество, даже параметрических.

[tango]

venco
Да. Если одна из дуг параболы полностью лежит в другой, то они, конечно, подобны, поскольку неподобными быть не могут.
При машинном переборе рассмотрю отдельно пересекающиеся и непересекающиеся дуги.

Цитата:

С чего это вдруг она тривиальная?

Это я от неожиданности (с перепугу). Конечно, единичка ничуть не хуже всех остальных.
Да. Возможно (очень надеюсь), фишка в том, что дуги параболы должны быть непересекающимися - у Ферма они разделены отрезком [a,b]

-- 28.02.2013, 23:12 --

Вот в такой формулировке:

Для любого натурального $n > 2$ нет таких (натуральных) $a < b < c < d$, что выполняется равенство $b^n - a^n = d^n - c^n$

Не знаю, насколько корректно использовать вычитание при определении выражения на натуральных числах.

[Xaositect]

tango в сообщении #689336 писал(а):

Вот в такой формулировке:

Для любого натурального $n > 2$ нет таких (натуральных) $a < b < c < d$, что выполняется равенство $b^n - a^n = d^n - c^n$

Не знаю, насколько корректно использовать вычитание при определении выражения на натуральных числах.

Собственно, все то же самое: $9^3 - 1^3 = 12^3 - 10^3$. Решений бесконечно много, это вылезает из параметризации http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_cubic

[Nilenbert]

Вот, в Википедии такое нашёл:

$$ 582162^3 [phone]^3 =3064173^3 + 28894803^3 =8519281^3 [phone]^3 =16218068^3 + 27093208^3 =17492496^3 + 26590452^3 =18289922^3 + 26224366^3 $$

$$ 635318657 = 59^4 + 158^4 = 133^4 + 134^4 $$

Однако для степеней $n\ge 5$ существование таких чисел неизвестно.

[tango]

М-да. С числовыми примерами не поспоришь.
Идея была такая:
Пусть у монотонной возрастающей функции $f(x)$ для неотрицательных целых $x$ есть пифагорова тройка. т.е.
$f(a) + f(b) = f(c)$

От нуля до $a$ левая часть растет в два раза быстрее правой. В точке $a$ прекращаем рост первого слагаемого левой части ("останавливаем" функцию).
От $a$ до $b$ скорость роста левой и правой частей одинакова, в точке $b$ "останавливаем" второй член левой части.
От $b$ до $c$ правая часть возрастает на ту разницу, на которую ее обогнала левая часть от нуля до $a$.

Показалось хорошей идеей отвязаться от нуля и потребовать выполнения того же для любых двух отрезков.
Извините, что не проверил на числах перед тем как выложить здесь.

[tango]

Для $n > 2$ найдутся положительные целые $a < b < c < d$ такие, что выполняется равенство $b^n - a^n = d^n - c^n$, в том и только том случае, когда $a > 0$

Оправдание Пифагора: особая роль единицы - наличный факт.

Однако, что такого скрыто в этом хвостике $[0,1]$, что так резко меняются свойства?

[venco]

tango в сообщении #689517 писал(а):

... найдутся положительные целые $a < b < c < d$ ... в том и только том случае, когда $a > 0$

А есть другие положительные целые?

[tango]

venco
Да вот же, мучаюсь с этим с момента появления на форуме. С одной стороны - натуральные. С другой - вычитание имеет место быть. А неправильно выражаться нельзя, ибо полшага до бана. И что делать?

Кстати, есть какое-нибудь специальное название для функции, которая равна единице везде, кроме нуля, и ноль в нуле? Если нет, можно ее назвать функцией существования?

[tango]

А ведь всё очень просто
Единичка участвует в вычитаниях и сложениях - когда мы оперируем аргументами (длиной отрезков оси $x$, а в степенях (при вычислении функции) - нет.
Поэтому, чтобы формулировка из первого сообщения сработала, надо добавить единичку. При переходе к теореме Ферма - эту единичку заменить нулем.
Нужная функция может быть записана как корень бесконечной степени из $a$ - в нуле это ноль, при всех других аргументах - единица.

[venco]

tango, ваши сообщения в этой теме становятся всё бредовее и бредовее.

[tango]

venco
Увы. Написал свою программу-проверялку - холодный душ.
Но какие новые горизонты открылись!