Не простой функан

[Nikkei0]

Какие переходы нетривиальны и как их обосновать?

$||(i \sqrt{A} - \lambda||^{2n} = ||(i \sqrt{A} - \lambda)^n\overline{(i \sqrt{A} - \lambda)^n}||= ||(i \sqrt{A} - \lambda)^n(-i \sqrt{A} - \lambda)^n|| = ||(i \sqrt{A} - \lambda)^n(i \sqrt{A} + \lambda)^n|| =||(-i A - \lambda^2)^n||$

Где оператор - $Au(x,t)=\partial^2u(x,t)/\partial x^2+q(x)u(x,t)$ в пространстве $C^2$

И верно ли, что если $D(A) \subset C^2 \Rightarrow D( \sqrt{A}) \subset C^1$

Помогите, пожалуйста!

[sup]

Nikkei0 в сообщении #686007 писал(а):

И верно ли, что если $D(A) \subset C^2 \Rightarrow D( \sqrt{A}) \subset C^1$

Во-первых. Не ясно, это Вы про дифф. оператор второго порядка (который Вы предъявили выше) или вообще, для произвольного оператора $A$.
А во-вторых. Как Вы определяете $D( \sqrt{A})$? У Вас получается какое-то странное утверждение. Выражаясь неформально, Вы утверждаете, что область определения оператора $\sqrt{A}$ не может быть "слишком широкой" (в зависимости от $D(A)$). Может быть Вы имели в виду обратные включения?

[ewert]

Nikkei0 в сообщении #686007 писал(а):

Какие переходы нетривиальны и как их обосновать?

Самое нетривиальное -- самое начало. Что такое норма оператора?

[Nikkei0]

Норма оператора $||A||=\frac{\sup_{ {x} \neq 0}||Ax||} { ||x||}$

Оператор имеется везде ввиду данный!

Помоему очевидно что для данного оператора область определения это некоторое множество функций из $C^2$ . Корень из оператора $ \sqrt{A}x= \frac{\sin{\pi/2}}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty} s^{-1/2}R(-s)Axds$

$R(\lambda)$ - резольвента оператора A

[ewert]

Вот знать бы ещё,что такое резольвента и какое отношение она имеет к стартовому посту...

[Nikkei0]

Цепочка равенств для произвольного оператора, и это основное с чем я хочу помочь, там резольвента не нужна!
Насколько я понимаю в случае вещ. оператора это выполнено, тоесть надо понять как изменяется норма при комплесификации оператора? Подскажите

[vanchopolos]

Что-то мне подсказывает, что указанные операторы слегка неограниченны.

[Nikkei0]

vanchopolos в сообщении #686917 писал(а):

Что-то мне подсказывает, что указанные операторы слегка неограниченны.

и?

[ewert]

Nikkei0 в сообщении #687368 писал(а):

и?

и что же есть норма неограниченного оператора, в конце-то концов?

[Lyoha]

Nikkei0 в сообщении #686874 писал(а):

Цепочка равенств для произвольного оператора, и это основное с чем я хочу помочь, там резольвента не нужна!
Насколько я понимаю в случае вещ. оператора это выполнено, тоесть надо понять как изменяется норма при комплесификации оператора? Подскажите

Давайте тогда, для начала, предельно упростим задачу. Я правильно понимаю, что в частном случае ваше неравенство выглядит следующим образом:
$||B||^{2n}=||B^n||^2 ?
Если так, что обосновать его будет затруднительно.

[ewert]

Lyoha в сообщении #688132 писал(а):

Если так, что обосновать его будет затруднительно.

Нет, довольно просто, если уж оператор симметричен (конечно, если понятие симметричности вообще имеет смысл, т.е. если вместо нелепого $C^2$ взять человеческое $L_2$). Вот что у неограниченных операторов бывают нормы -- вот это обосновать уже воистину затруднительно.

[Nikkei0]

В моем неравенстве норма берется от резольвенты оператора! А она ограничена

-- 27.02.2013, 12:10 --

Задача действительно успростилась. Нужно понять чему равна норма$ ||A+iB||$ в комплексифицированном пр-ве операторов, а точнее показать(она вероятно определяется так, подсказали) что $||A+iB|| \leqslant C \sqrt{||A||^2+||B||^2}$. А потом показать что $||A-iB||$ эквивалентна $||A+iB||$

-- 27.02.2013, 12:13 --

для произвольных A, B
причем справа в неравенстве нормы в обычном операторном смысле(для ограниченых)

-- 27.02.2013, 12:16 --

А вопрос об области определения корня сводится к тому для каких х сходится интеграл(он выше)

-- 27.02.2013, 12:17 --

Может кто-нибудь поскажет как его исследовать?

-- 27.02.2013, 12:18 --

Известно что резольвентное мн-во данного оператора(A) лежит в D(A)

-- 27.02.2013, 12:45 --

$ R(n)x=- \int\limits_{0}^{\infty} \exp^{-nt}U(t)xdt

Где U(t) сильно непрерывная полугруппа.(сем-во операторов ставящее в соответствие начальной функции функцию решения)