"Родительские" кривые полиномов

[Iv_]

В результате исследования совершенно практических задач было сделано очень любопытное наблюдение:

Рассмотрим множества точек, задаваемых параметрически полином от нескольких точек.
Утверждается, что:
Любому полиному степени N соответствует единственная кривая степени N в пространстве размерности N, проецированием которой может быть построено всё многообразие кривых для данного полинома.

К примеру, такими множествами являются кривые Безье (полиномы в этом случае называются полиномами Бернштейна).
Известно, что кривые Безье 2-го порядка всегда являются фрагментом параболы, в этом случае "родительской кривой" будет парабола.
В более общем случае, для кривых Безье родительская кривая задается параметрически как {x=t, y=t^2, z=t^3, ...}.

Известно ли вам что-то на эту тему?

[Алексей К.]

Давайте выражаться яснее...

Iv_ писал(а):

Рассмотрим множествА(?) точек, задаваемых параметрически полиномOM(?) от нескольких точек.

Т.е. рассмотрим множествА или множествО
$P(t)=\Sigma_{i=0}^N P_i t^i$, $-\infty<t<\infty$?
Кривую?

Iv_ писал(а):

... всё многообразие кривых для данного полинома.

А что такое всё многообразие кривых (для простоты --- на плоскости), например, для полинома $P(t)=P_0+P_1 t$, где $P_1=(x_1,y_1)$, $P_0=(0,0)$.

нг:

Пожалуйста, не используйте красный цвет. Правила резервируют его для модераторов.

[Iv_]

Речь вот о чем. Есть один полином P(t) = P0 + P1*t + ... + Pn*t^n - степени N.
P0..Pn - некоторые точки. Получается, что полином P(t) задает множество точек при варьировании параметра t. Причем это множество точек будет непрерывной линией.
Понятное дело, что каждый набор точек P0..Pn будет давать свою линию.
Утверждается, что существует для каждого N одна общая кривая в N-мерном пространстве, которая будучи повернута и растянута даст в проекции любую из кривых, описываемых полиномом P(t).

иллюстрация на примере (нужен флеш-плеер):
http://www.bezier.ru/demo/
- здесь кривая {x=t, y=t^2, z=t^3}
проецируется на плоскость (экран монитора)
всегда видим кривую Безье 3го порядка.
и наоборот, если мы видим кривую Безье 3-го порядка,
то можем всегда так спроецировать эту кривую,
что получим заданную Безье.

многообразие всех кривых - это все кривые, которые получаются из одного полинома на разных наборах точек.

Добавлено спустя 2 минуты 28 секунд:

а конкретно ваш пример непонятен - картинки не грузятся.

Добавлено спустя 25 минут 26 секунд:

Параметр t можно использвать в любых пределах, тогда рассматриваться должен соответствующий сегмент родительской кривой. В том числе неограниченный.

Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд:

А для полинома первой степени (я так понял из alt-ов картинок) это всё множество отрезков на плоскости.

Добавлено спустя 3 минуты 55 секунд:

"всё множество отрезков на плоскости" - причем не только на плоскости.
По идее не имеет значения размерность пространства на которое проецируем.

[Алексей К.]

Iv_ писал(а):

Утверждается, что существует для каждого N одна общая кривая в N-мерном пространстве, которая будучи повернута и растянута даст в проекции любую из кривых, описываемых полиномом P(t).

Утверждается другое.
Утверждается, что любую кривую $P(t)$ можно получить проецированием кривой $x=t, y=t^2, z=t^3, \ldots$, я${}=t^N$
путём предварительных поворотов и растяжений. Забыты сдвиги. Не сказано, подразумевается ли одинаковый коэффициент растяжения по всем $N$ координатам, или разный.

[Iv_]

Утверждение выделено жирным.
остальное - пояснения, примеры и частные случаи.

Добавлено спустя 7 минут 23 секунды:

- если неверно - укажите где.
если тривиально, то укажите хоты бы одно упоминание об этом.

а еще лучше - подскажите форум, где данный вопрос можно обсудить с теми, кому это близко по тематике.

[Алексей К.]

Сначала Iv_ писал(а):

Утверждается, что:
Любому полиному степени N соответствует единственная кривая степени N в пространстве размерности N, проецированием которой может быть построено всё многообразие кривых для данного полинома.

А потом Iv_ писал(а):

Утверждается, что существует для каждого N одна общая кривая в N-мерном пространстве, которая будучи повернута и растянута даст в проекции любую из кривых, описываемых полиномом P(t).

Так про жирное думать, или с поворотами и растяжениями???

Добавлено спустя 2 минуты 10 секунд:

Iv_ писал(а):

а еще лучше - подскажите форум, где данный вопрос можно обсудить с теми, кому это близко по тематике.

Я сам бесконечно люблю кривые Безье, просто утверждение реально непонятно.

Добавлено спустя 6 минут 5 секунд:

Давайте обойдёмся кубическими кривими на плоскости (т.е. Безье), и, соответственно, трёхмерной пространственной кривой.

[Iv_]

я считаю, что указание на проецирование в первом случае достаточно.
с другой стороны, вышеизложенное мной не доказано, поэтому говорить окончательно рано.

Добавлено спустя 24 минуты 2 секунды:

Цитата:

люблю кривые Безье

- подключайтесь к нам: http://www.bezier.ru
собственно при работе над этим проектом утверждение и было сформулировано.

Применительно к кривым Безье 3-го порядка звучать будет так:
Любую кривую Безье 3-го порядка пожно получить проецированием кривой {x=t, y=t^2, z=t^3}

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

Для рациональных кривых Безье формула родительской кривой будет другая, но принцип остается тот же.

Добавлено спустя 5 минут 24 секунды:

Люую кривую Безье 3-го порядка в пространстве 3-го порядка только поворотами и пропорциональным масштабированием можно привести к кривой {x=t, y=t^2, z=t^3}

[Алексей К.]

У нас есть 3 параметра переноса пространственной кривой
$X(t)=t,\; Y(t)=t^2,\; Z(t)=t^3$
3 параметра поворота в пространстве
1 параметр масштабирования,
Возможность репараметризации ($u=at+b$) даёт ещё 2 степени свободы
(кто-то лишний или дублирует другого; после работы додумаю).

С такой свободой реализовать 8 неизвестных коэффициентов
$x(u)=a_0+a_1u+a_2u^2+a_3u^3$,
$y(u)=b_0+b_1u+b_2u^2+b_3u^3$,
наверное, не сложно.

Про возможность репараметризации, не изменяющей ни формы, ни положения кривой, обычно забывают...

[Iv_]

Родительская кривая 3 порядка имеет 8 степеней свободы: 3 переноса, 2 на поворот и 2 на перепараметризацию. Так что как раз 8, и с 8 коэффициентами в системе они связаны взаимо-однозначно.
Но если вычислить коэффициенты в системе по преобразованию кродительской кривой просто, то обратно - получить параметры преобразования кривой по проекции - пока не удалось.
Для 2-мерного случая, такое получилось

Добавлено спустя 1 минуту 2 секунды:

попытки определить положение родительской кривой по проекции ее на плоскость (по Безье 3 порядка) принимались нами неоднократно, но успеха пока не принесли.

[Алексей К.]

Но если этот номер проходит с "родительской кривой"
$X(t)=t,\; Y(t)=t^2,\; Z(t)=t^3$,
почему бы его не проделать с кривой
$X(t)=t,\; Y(t)=7t^2,\; Z(t)=-13t^3$?

Кто есть единственная "родительская кривая"?
А её гомотетический образ уже не родительский?

[Iv_]

Разумеется, и такая кривая тоже будет родительской.
Но в принципе-то это та же кривая.
Поэтому в определениях используем канонический вид.

Важно было сказать что существует одна (хотя и не единственная) родительская кривая, которая может быть спроецированна на все возможные кривые, описываемые полиномом.

[Алексей К.]

Iv_ писал(а):

Применительно к кривым Безье 3-го порядка звучать будет так:
Любую кривую Безье 3-го порядка пожно получить проецированием кривой {x=t, y=t^2, z=t^3}

Ну представьте себе читателя, математика, который компьютерной графикой не увлекался.
Может слышал, а может и не слышал про них.
Ему бежать за справочником (в Корне этого термина нет)?
А про полиномы и полиномиальные кривые он знает всё, и задачка для него плёвая.
И вот Вы простое утверждение, ---
Любую полиномиально параметризуемую кривую 3-го порядка пожно получить проецированием кривой усложняете (хотя слово "Беэье" и короче "полиномиально параметризуемую"), привлекая термин из компутерной графики.
(Это не столько упрёки, сколько советы...) Вот я купился, а умный алгебраист поленился...
Не Безьёвая это задача...

Термин "кривая Безье" уместен, когда речь идёт об ограниченной дуге, например, в задаче об отыскании такой кривой с заданными граничными условиями (наклоны касательных, кривизны).

Iv_ писал(а):

Для рациональных кривых Безье формула родительской кривой будет другая, но принцип остается тот же.

Рациональных кривых Безье не попадалось. Пьер Безье ограничился полиномиальными кривыми; их ему хватило, чтобы в почёте умереть в 1999 году.
Последователи придумали рациональные кривые, наследующие от Безьёв ряд свойств
(забыл как называется такая "кусочная выпуклость" кривой вслед за ломаной, проходящей через контрольные точки).

Рациональные кривые называются просто рациональными кривыми.

Добавлено спустя 23 минуты 49 секунд:

Замечу, что кривые с $e$ (например, логарифмическая спираль) не менее интересны, чем кривые Без $e$...

[Iv_]

[Iv_]

здесь формулировка иная:

Цитата:

A "rational" Bézier curve is defined by: ...

Видимо именно это меня несколько сбило с толку и мне рациональных Безье попадалось.

Также

Цитата:

These curves [...] can represent conic sections exactly.

из чего я сделал вывод о том, что дерзкая научная мысль билась в этом направлении, однако удовлетворилась частным случаем.
Я же сформулировал общее утверждение, которое и хочу обсудить с профессионалами.

[Алексей К.]

Ну, действительно, варианты терминологии всякие могут быть. Я лишь подчёркиваю,
что Вы применяете термины из компьютерной графики к типичным задачам алгебраической геометрии. Любая рационально (степени $n$) параметризуемая кривая может быть представлена неявным уравнением $a_1X^n + a_2X^{n-1}Y + \ldots + a_?Y^n = 0$
(обратное неверно). Так, Ньютон насчитал около 70 типов кривых третьего порядка, из которых только 3 (кажется) типа допускают полиномиальную параметризацию (это уже после Ньютона выяснялось) и являются, таким образом, кривыми Безье.

Iv_ писал(а):

Также

Цитата:

These curves [...] can represent conic sections exactly.

из чего я сделал вывод о том, что дерзкая научная мысль билась в этом направлении, однако удовлетворилась частным случаем.

Это битиё мысли --- давно пройденный (в докомпьютерное время) этап алгебраической геометрии. Наверняка сюжет с conic sections, как простейший, покрыт в книге Р.Уокера "Алгебраические кривые".

Вот как это выглядит:

"Рациональная кривая Безье" --- это то, что в треугольничке $APB$, $P$ --- контрольная точка.
Красненькая --- парабола.