Как доказать равносильность преобразования?

[larkova_alina]

Пусть есть некоторое уравнение $f(x)=g(x).$ Как доказать, что замена, например, выражения $f(x)$ выражением, определяемым некоторым абсолютным тождеством, будет равносильным преобразованием?
Например, пусть изначально $f(x)=(1+x)^2$. и мы заменили это выражение в уравнении на $1+2x+x^2$ в силу абсолютного тождества $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2.$

[TOTAL]

larkova_alina в сообщении #688477 писал(а):

Как доказать, что

Сначала надо определить, что понимается под "доказать".

[larkova_alina]

TOTAL, наверное максимально формальное обоснование. Я не знаю.

[Sonic86]

Если хотите формально доказать, то сначала надо сформулировать доказываемое утверждение.
Например так: $A=B \wedge B=C \Rightarrow A=C$.
Вот преобразование $A=B \wedge B=C \Rightarrow A=C$ не обращается назад. А преобразование $A=B \wedge B=C \Leftrightarrow A=B \wedge A=C$ равносильно (просто покажите, что обратное следствие выполняется. Этого вполне достаточно. Если еще формальнее нужно, то нужно идти в исчисление предикатов с равенством и там лазить).

Это если я правильно понял, что надо доказать
Возможно, надо так: пусть $x\in M \Leftrightarrow f(x)=g(x)$, тогда надо доказать, что $f(x)=g(x) \wedge (\forall y)(f(y)=h(y)) \Leftrightarrow g(x)=h(x)$. Ну последнее, понятно, неверно, т.к. теряется определение $f(x)$, а если его добавить, то получим почти то же, что и выше (это уже не помню что - исчисление предикатов с равенством и с функциональными символами (если такое бывает ))
Вообще, $f(x)=g(x) \wedge (\forall y)(f(y)=h(y)) \Leftrightarrow g(x)=h(x) \wedge (\forall y)(f(y)=h(y))$ симметрично, так что оно как следует в одну сторону, так же следует и в другую.
А! Ну вот, я как правильно записал, так сразу стало понятно: это правило подстановки + транзитивность равенства.

[larkova_alina]

Sonic86, а в рамках школьной программы это нельзя как-нибудь доказать?

[AGu]

larkova_alina в сообщении #688509 писал(а):

а в рамках школьной программы это нельзя как-нибудь доказать?

Без исчисления предикатов (или чего-то аналогичного по строгости и современности) получится не доказательство, а лишь его имитация. Доказательство -- это математическое понятие, определяемое в логике. Школа тут далековато.

[mihailm]

larkova_alina в сообщении #688509 писал(а):

Sonic86, а в рамках школьной программы это нельзя как-нибудь доказать?

Здесь почитайте
Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы.
Когда-то была классикой))