Поверхность f(x; y)

[Keter]

Какой фигурой в пространстве будет являться $f(x; y)=\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+3)^2} \quad ?$

[devgen]

"Воронка" конус

[Keter]

devgen, как узнать координаты вершины этого конуса или что-то, что хоть как-то поможет построить поверхность вручную?

[Aritaborian]

С помощью матана. Исследовать функцию на экстремумы, всё такое.

[Keter]

Aritaborian, можно что-нибудь более конкретное, может пример какой...

Я 11 класс заканчиваю, только в общих чертах знаю функцию двух переменных, а вот поверхность захотелось построить вручную.

То есть вы имеете ввиду находить производную и так далее?

[devgen]

Тут не нужно производной. Нарисуйте несколько линей уровня, всё понятно станет. Про максимум-минимум всё довольно очевидно из области значений.

[Keter]

devgen, я приблизительно понял как строить, выходит воронка, образованная эллипсами. Но так и не понял: как найти вершину этого конуса? У нас минимум, равный $3$, достигается при многих значениях ($(0; 0)$ или $(0; -3)$), которые все принадлежат плоскости одного эллипса, как я понял. Но как задать этот эллипс уравнением и найти координаты его центра масс?

-- 25.02.2013, 03:06 --

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+3)^2}=3$ -- вот он эллипс. А как найти его центр масс? Ведь именно он и будет являться вершиной конуса. Вроде это $(0; -3/2).$

[ИСН]

Keter в сообщении #687867 писал(а):

У нас минимум, равный $3$, достигается при многих значениях

Увы.
"Вот такое хреновое лето."
Откуда Вы взяли центр каких-то масс? Вершина (при такой ориентации) - это сама нижняя точка. Минимум. А где достигается минимум? В какой точке? В одной ли точке?
Или Вы думаете, что если одним методом получился нехороший, неприятный результат, то надо посчитать другим методом - и выйдет результат приятный?

[Keter]

ИСН

Я лишь понял, что самая нижняя точка не одна - их много, и все они, принадлежат фигуре $\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+3)^2} \le 3.$ То есть при $x, y$ удовлетворяющих такому неравенству, $f(x; y)=3.$ Тогда где-же вершина конуса? Я подумал, что если точек много и все они принадлежат некой симметричной фигуре, то вершина - это центр этой фигуры $(0; -3/2).$

[ewert]

Keter в сообщении #687867 писал(а):

Но так и не понял: как найти вершину этого конуса?

Это не конус, и какой-то одной вершины у него действительно нет. Но есть отрезок, соединяющий те фокусы, на который эта поверхность и опирается (именно в тот отрезок вырождаются эллипсы при опускании уровня).

[gris]

Вас вводит в заблуждение слово "конус". Но это даже не часть конической поверхности. Она лишь напоминает конус, у которого прищемили кончик плоской прищепкой и сделали, пардон, склеивающее обрезание. Не ищите вершину, нет её.
+++ Пардон, не видел предыдущего сообщения.

[Keter]

То есть это просто пространственная яма такая (даже не сильно изогнутая получается), я её сверху начал строить, дошел до нижних слоёв и возник вопрос: что такое $\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y+3)^2} = 3 \quad ?$
Это тот отрезок, который остался после "склеивающего обрезания" ? То есть в него и вырождаются эллипсы при опускании уровня.

[gris]

Лучше рассмотрите сечение поверхности плоскостью $x=0$. Это будет график функции $f(0,y)=|y|+|y+3|$.

[Keter]

gris, рассмотрел. Действительно, тогда сразу видно тот отрезок $y \in [-3; 0].$

Спасибо.

[gris]

Да, $x=0$, конечно.
Интересно также посмотреть на сечения при фиксированном $y$, то есть перпендикулярные "линии отреза". Видно, что там всё плавненько и кругленько, за исключением двух угловых точек $(0,0)$ и $(0,-3)$

А вот для нахождения максимума в прямоугольнике можно воспользоваться очевидной выпуклостью поверхности вниз и искать максимум на границах. И даже в углах. Но это надо бы обосновать.