Неравенство и еще кое-что

[xmaister]

1. Докажите, что для всех $t>0$ справедливо неравенство $\int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{exp}(2\sqrt{t}\cos\varphi)d\varphi<2\pi e^t$
2. Верно ли что $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ не гомеоморфны?
3. Вычислите $\sum\limits_{\sigma\in S_n}i(\sigma)$, где $i(\sigma)$- число инверсий перестановки $\sigma$.

[AV_77]

Если подстановки разбить на пары вида
$\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n \\ i_n & i_{n-1} & \ldots & i_1 \end{pmatrix}$,
то сумма инверсий для каждой такой пары постоянна.

[alex-omsk]

По поводу первой: была идея разложить право и лево в ряд и проинтегрировать почленно.

[xmaister]

alex-omsk
Тут все значительно проще

[BatMan]

1. замена $z=e^{i\varphi}$ и далее через вычеты...

[SpBTimes]

Ну я так понимаю, что достаточно рассмотреть $\int\limits_{0}^{2\pi} e^{2\sqrt{t}\cos\varphi} - e^t d\varphi$

[alex-omsk]

Все же интресно - какой хотя бы ответ у второй

[xmaister]

У меня получилось что не гомеоморфно. Если гомеоморфно, то можно получить гомеоморфизм $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ и $\mathbb{R}$.

-- 24.02.2013, 12:19 --

BatMan в сообщении #687434 писал(а):

1. замена $z=e^{i\varphi}$ и далее через вычеты...

Ну да , а без вычетов я так и не понял как сделать.

[alex-omsk]

xmaister в сообщении #687541 писал(а):

а без вычетов я так и не понял как сделать.

Так вроде же в ряд разложить подынтегральное выражение? Там интеграл от косинуса в нечетной степени это ноль, так что степенной ряд получится. Первые два члена совпадают с разложением правой части, а остальные меньше.

[xmaister]

alex-omsk в сообщении #687544 писал(а):

Там интеграл от косинуса в нечетной степени это ноль, так что степенной ряд получится. Первые два члена совпадают с разложением правой части, а остальные меньше.

Да, действительно.

-- 24.02.2013, 13:21 --

xmaister в сообщении #687541 писал(а):

У меня получилось что не гомеоморфно. Если гомеоморфно, то можно получить гомеоморфизм $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ и $\mathbb{R}$.

Это не верно. С таким же успехом можно доказать, что $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}_{>0}$ не гомеоморфны... Но это не так.

[AGu]

Насчет задачи 2 есть более крутой факт:

Теорема Серпинского.
Любое счетное метризуемое пространство без изолированных точек гомеоморфно $\mathbb Q$.

[xmaister]

AGu
Очень интересно, спасибо!