Последовательности многочленов с целыми положительными коэфф

[vicvolf]

Будем рассматривать монотонно возрастающие последовательности многочленов k-ой степени с целыми, положительными коэффициентами $P_k(n)$. Многочлен может быть как приводимым, так и неприводимым над кольцом целых чисел.
Для указанной последовательности $P_k(n)$ возможны только три случая.
1. Последовательность многочленов принимает только четные значения.
2. Последовательность многочленов принимает чередующиеся по четности значения.
3. Последовательность многочленов принимает только нечетные значения.

Утверждение 1
Последовательность многочленов принимает при изменении n значения только четных чисел, если количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно или равно нулю, а свободный член - четное число или ноль.

Доказательство
а) Пусть количество одночленов с нечетными коэффициентами равно нулю, следовательно все коэффициенты многочлена, включая свободный член, четные числа, поэтому значение 2 можно вынести за скобку и значение многочлена будет четным числом.
б) Одночлен с нечетным коэффициентом при изменении n принимает знакочередующиеся значения, поэтому сумма четного числа одночленов с нечетными коэффициентами принимает только четные значения.
Поэтому многочлен, являющийся суммой одночленов а),б) также принимает только четные значения ч.т.д.

Пример приводимого многочлена над кольцом целых чисел данного типа: $f(n)=n^2+n=n(n+1).$
Пример неприводимого многочлена над кольцом целых чисел данного типа: $f(n)=n^3+n+12.$

Следствие
Асимптотическая плотность нечетных и простых чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 0.
Доказательство вытекает из формулы (9.2) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности".

Утверждение 2
Последовательность многочленов принимает при изменении n чередующиеся по четности значения, если количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами нечетно.

Доказательство
Одночлен с нечетным коэффициентом при изменении n принимает чередующиеся по четности значения, поэтому сумма нечетного числа одночленов также принимает при изменении n чередующиеся по четности значения. Одночлен с четным коэффициентом принимает только четные значения. Поэтому многочлен, состоящий из нечетного числа одночленов с нечетными коэффициентами и любого числа одночленов с четными коэффициентами принимает при изменении n чередующиеся по четности значения ч.т.д.

Пример приводимого многочлена над кольцом целых чисел данного типа: $f(n)=n^3+1=(n+1)(n^2-n+1).$
Пример неприводимого многочлена над кольцом целых чисел данного типа: $f(n)=n^2+1.$

Следствие
Асимптотическая плотность нечетных и четных чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 1/2.
Асимптотическая плотность простых чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде не превышает 1/2.
Доказательство вытекает из формулы (9.2) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности".
К последовательности многочленов данного вида относится и натуральный ряд чисел $f(n)=n.$

Буду благодарен за замечания и предложения. Продолжение следует.

[Alex_J]

А между прочим,
$a^2+b^2=(a^\frac{2}{3}+b^\frac{2}{3})(a^\frac{4}{3}-a^\frac{2}{3}b^\frac{2}{3}+b^\frac{4}{3})$
И кто сказал, что сумму квадратов нельзя разложить?

Сорри что не совсем в тему.

[vicvolf]

Продолжение

К последовательностям многочленов, удолетворяющих условиям утверждения 2, также относятся последовательности арифметических прогрессий $f(n)=kn+l$ при целых положительных k,l и $(k,l)=1$. Позже покажу, что асимптотическая плотность простых чисел в натуральном ряде является минимальной для указанных последовательностей.

Утверждение 3
Последовательность многочленов принимает при изменении n только нечетные значения, если количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом.

Доказательство
Доказательство проводится аналогично утверждению 1, с учетом того, что свободный член является нечетным числом.

Пример неприводимого многочлена над кольцом целых чисел данного типа: $f(n)=n^2+n+1.$

Следствие
Асимптотическая плотность нечетных чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 1.
Асимптотическая плотность четных чисел в последовательности многочленов данного типа в натуральном ряде равна 0.
Доказательство вытекает из формулы (9.2) темы "Бесконечность простых чисел в последовательности".

Однако это не гаранитирует, что асимптотическая плотность простых чисел в последовательности многочленов 3-его типа больше, чем в последовательности 2-ого типа, так как коэффициенты и свободные члены многочленов могут иметь общий делитель. В этом случае асимптотическая плотность простых чисел в последовательности многочленов будет равна 0.
Чтобы этого не было надо потребовать, чтобы все коэффициенты многочлена и свободный член были взаимнопростыми числами.
Например - $f(n)=9n^2+3n+5$.

В следующей теме поговорим о неприводимости многочленов 3-его типа над кольцом целых чисел.

Буду благодарен за замечания и предложения. Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжение

Утверждение 4
Асимптотическая плотность простых чисел в натуральном ряде является минимальной в последовательностях арифметических прогрессий $f(n)=kn+l$ при целых положительных k,l и $(k,l)=1$.

Доказательство
В теме "Плотность числовой последовательности" показано, что асимптотическая плотность простых чисел в последовательности арифметической прогрессии определяется по формуле:
$P(f,2,x) \sim \frac {k} {\varphi(k)\ln(x)}$.
Для натурального ряда при $k=1$ получаем:
$P(f,2,x) \sim \frac {1} {\ln(x)}$, т.е. $\frac {1} {\varphi(1)}=1$.
Пусть каноническое разложение k для других случаев:
$k=p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ...\cdot p_s^{a_s},$
где $p_i$ - простое число с номером i.
Рассмотрим отношение:
$\frac {k} {\varphi(k)}=\frac {p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdot ...\cdot p_s^{a_s}} {p_1^{a_1-1}\cdot p_2^{a_2-1}\cdot ...\cdot p_s^{a_s-1}(p_1-1)(p_2-1)...(p_s-1)}=\frac {p_1\cdot p_2\cdot ...\cdot p_s}{(p_1-1)\cdot (p_2-1)\cdot ...\cdot (p_s-1)}>1,$
т.е. больше, чем для натурального ряда ч.т.д.

Утверждение 5
Многочлен 3-его типа (количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом) неприводим над кольцом целых чисел.

Доказательство
Проведем доказательство методом математической индукции.
На 1-ом шаге покажем, что многочлен 3-его типа 2-ой степени $P_2(n)=a_2n^2+a_1n+a_0$, неприводим над кольцом целых чисел. Предположим противное, что он приводим, тогда у него будет отрицательный корень (-a) и его можно будет представить в виде $(n+a)(a_1n+a_0)$. Так как свободный член данного многочлена $aa_0$ должен быть нечетным, а $a_0$ нечетно, то а должно быть четным. В этом случае в многочлене $a(a_1n+a_0)$ коэффициенты останутся нечетными, а в многочлене $a_1n^2+a_0n$ добавится один одночлен с нечетным коэффициентом, поэтому в общем многочлене количество членов с нечетными коэффициентами станет нечетно и многочлен не будет многочленом 3-его типа. Поэтому наше предположение неверно и многочлен 2-ой степени будет неприводим над кольцом целых чисел.
На 2-ом шаге предположим, что многочлен 3-его типа k-ой степени $P_k(n)=a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_0$ неприводим над кольцом целых чисел и предположим противное, что многочлен k+1-ой степени в этом случае будет приводим над кольцом целых чисел, т.е будет иметь отрицательный целый корень (-a). Тогда его можно будет представить в виде:

$$P_{k+1}(n)=(n+a)(a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_0)=a_kn^{k+1}+a_{k-1}n^{k}+...+a_0n+a(a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_0).$$

Так как свободный член в многочлене 3-его типа $a \cdot a_0$ должен являться нечетным числом и $a_0$ является нечетным числом, то a должен являться также нечетным числом.
Так как a нечетно, то четность коэффициентов многочлена и количество одночленов в нем $a(a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_0)$ не меняется.
В многочлене $a_kn^{k+1}+a_{k-1}n^{k}+...+a_0n$ количество одночленов с нечетными коэффициентами стало нечетным, так как добавился одночлен $a_0n$ с нечетным коэффициентом. Учитывая это, количество одночленов в общем многочлене $a_kn^{k+1}+a_{k-1}n^{k}+...+a_0n+a(a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+...+a_0)$ с нечетными коэффициентами стало нечетным и поэтому, полученный многочлен не является многочленом 3-его типа, т.е наше предположение является неверным и многочлен k+1 степени является многочленом 3-его типа ч.т.д.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #686725 писал(а):

Утверждение 5
Многочлен 3-его типа (количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом) неприводим над кольцом целых чисел.

Доказательство
Проведем доказательство методом математической индукции. ...

Ужас. Во-первых, посмотрите в каком-нибудь учебнике алгебры, что означает термин "неприводимый многочлен". Во-вторых, если понимать этот термин так, как Вы его понимаете, то утверждение 5 будет просто очевидным --- горы текста ни к чему.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #686732 писал(а):

Во-первых, посмотрите в каком-нибудь учебнике алгебры, что означает термин "неприводимый многочлен".

Спасибо, за участие в обсуждении. Неприводимость многочленов я понимаю так:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0% ... 0%B5%D0%BD
Неприводимость многочленов над кольцом целых чисел я понимаю, как отсутствие в уравнении $P_k(n)=0$ целых корней. В данном случае разговор идет о многочленах с целыми положительными коэффициентами, поэтому корни данного уравнения могут быть только не положительными.

Цитата:

Во-вторых, если понимать этот термин так, как Вы его понимаете, то утверждение 5 будет просто очевидным --- горы текста ни к чему.

Отсутствие положительных целых корней уравнения очевидно, но не положительных нет. Например, многочлен $n^2+n=n(n+1)$ является многочленом с целыми положительными коэффициентами, а не положительные целые корни уравнения $n^2+n=n(n+1)=0$ имеются и даже 2.

[AV_77]

vicvolf в сообщении #686747 писал(а):

Неприводимость многочленов над кольцом целых чисел я понимаю, как отсутствие в уравнении $P_k(n)=0$ целых корней.

Тогда так и говорите - многочлен, не имеющий корней в $\mathbb{Z}$. Зачем путать термины?

-- Чт фев 21, 2013 21:51:14 --

vicvolf в сообщении #686725 писал(а):

Многочлен 3-его типа (количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом) неприводим над кольцом целых чисел.

Достаточно перейти к $\mathbb{Z}_2$ и сразу будет видно, что в $\mathbb{Z}$ корней нет.

[vicvolf]

AV_77 в сообщении #686761 писал(а):

vicvolf в сообщении #686725 писал(а):

Многочлен 3-его типа (количество одночленов в многочлене с нечетными коэффициентами четно, а свободный член является нечетным числом) неприводим над кольцом целых чисел.

Достаточно перейти к $\mathbb{Z}_2$ и сразу будет видно, что в $\mathbb{Z}$ корней нет.

Спасибо за участие в обсуждении. Я не алгебраист, поэтому мое доказательство элементарное. Не думаю, что оно сложное. Важно, что утверждение верное и доказательство правильное. Кстати из утверждение 5 вытекает:

Следствие
Диафантово уравнение $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0=0,$ где $a_i$ - целые и положительные, не имеет решений, если количество нечетных коэффициентов в многочлене четно, а свободный член - нечетное число.

[Ontt]

vicvolf в сообщении #686747 писал(а):

Отсутствие положительных целых корней уравнения очевидно, но не положительных нет. Например, многочлен $n^2+n=n(n+1)$ является многочленом с целыми положительными коэффициентами, а не положительные целые корни уравнения $n^2+n=n(n+1)=0$ имеются и даже 2.

Многочлен $n^2+n=n(n+1)$ не является "многочленом 3-его типа".

[vicvolf]

Ontt в сообщении #686904 писал(а):

Многочлен $n^2+n=n(n+1)$ не является "многочленом 3-его типа".

Конечно -это многочлен 1-ого типа, поэтому у него и есть целые нули. Многочлен 3-его типа целых нулей не имеет, например, $n^2+n+1$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #686885 писал(а):

Диафантово уравнение $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0=0,$

Это не диОфантово уравнение.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #686945 писал(а):

Это не диОфантово уравнение.

Насчет "о" согласен. Описался. Остальное дело вкуса!

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #686967 писал(а):

Например, можно считать данное уравнение диофантовым от одной переменной

А зачем? Это дурной вкус.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #686968 писал(а):

vicvolf в сообщении #686967 писал(а):

Например, можно считать данное уравнение диофантовым от одной переменной

А зачем? Это дурной вкус.

О вкусах спорят только математики и женщины! Поздравляю вас с наступающим праздником! В честь праздника предлагаю считать уравнения от одной переменной диофантовыми (по-другому обзывать мучительно и долго), а от многих - неопределенными.

[Ontt]

vicvolf в сообщении #686909 писал(а):

Многочлен 3-его типа целых нулей не имеет

Что очевидно.

Соответственно, если

vicvolf в сообщении #686747 писал(а):

Неприводимость многочленов над кольцом целых чисел я понимаю, как отсутствие в уравнении $P_k(n)=0$ целых корней.

, то элементарное доказательство "Утверждения 5" выглядит так: поскольку уравнение $P_k(n)=0$ не имеет целых корней, многочлен $P_k(n)$ не приводим по определению. Ч. т. д.