Момент инерции

[Keter]

Задача заключается в выводе формулы для осевого момента инерции тонкого стержня, ось которого проходит через центр масс перпендикулярно стержню. А затем вывести формулу для такого же стержня, но ось находится в вершине параллельно данной оси.

Есть формула: осевой момент инерции

$$J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r_i})^2.$$

Вопрос: её вывели из экспериментов? Или есть способ выведения из более простых соотношений?

$J$ представляет из себя интегральную сумму, то есть

$$J=\int r^2\, dm.$$

Далее рассмотрим Тонкий стержень, ось проходит через центр масс, длина стержня $L$: в литературе указывают, что "Поделим стержень на малые фрагменты длиной $dr$."
$dm=\dfrac{mdr}{L}$ - что они сделали, чтобы получить это соотношение? Не разобрался.

Далее мне понятно что делать: $dJ=r^2dm=\dfrac{mr^2dr}{L}.$ Затем интегрируем от $-L/2$ до $L/2$.

Далее рассмотрим Тонкий стержень, ось проходит через вершину, длина $L$: пот теореме Штейнера $J=J_{C}+\dfrac{mL^2}{4}.$

[miflin]

Keter в сообщении #686388 писал(а):

$dm=\dfrac{mdr}{L}$ - что они сделали, чтобы получить это соотношение?

Обычная пропорция. $\frac{m}{L}$ - масса, приходящаяся на единицу длины, или линейная плотность.

[Keter]

miflin, ахаа))) вот это я затупил и правда ведь -- просто пропорция. Спасибо

[miflin]

Keter в сообщении #686388 писал(а):

Есть формула: осевой момент инерции

$$J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r_i})^2.$$

Вопрос: её вывели из экспериментов?

Понятие о моменте инерции возникает при модификации 2-го закона Ньютона
применительно к вращательному движению.
Рассмотрим ускоренное движение по окружности точки массой m под действием
силы F, направленной по касательной к окружности.
Тангенциальное ускорение:

$\displaystyle a_{\tau}=\frac{F}{m}=\varepsilon r$

$\displaystyle \varepsilon=\frac{F}{mr}=\frac{Fr}{mr^2}=\frac{M}{J}$

[Oleg Zubelevich]

Keter в сообщении #686388 писал(а):

осевой момент инерции

$$J=\sum_{i=1}^n m_i (\vec{r_i})^2.$$

странное что-то

[Keter]

Oleg Zubelevich, момент инерции механической системы относительно неподвижной оси или осевой момент инерции. А что странно?

[Oleg Zubelevich]

$\vec{r_i}$ это что?

[Keter]

$m_i$ - масса $i$-ой точки,
$r_i$ - расстояние от $i$-ой точки до оси.

-- 20.02.2013, 23:52 --

miflin, как доказать соотношение $a_{\tau}=\varepsilon r$ ?

[Oleg Zubelevich]

Keter в сообщении #686419 писал(а):

$r_i$ - расстояние от $i$-ой точки до оси.

ну хорошо, что вектор теперь у вас в обозначениях пропал

[Keter]

miflin, а если так: $v=r \omega; \quad \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{r d\omega}{dt}; \quad a=r \varepsilon$

Тогда интересно из чего получается соотношение $v=r \omega$

[Oleg Zubelevich]

Пусть имеется твердое тело с неподвижной точкой $O$ (которую примем за начало координат). Кинетический момент системы материальных точек , из которых состоит это твердое тело, относительно точки $O$ определяется следующим образом $\overline K_O=\sum m_i[\overline r_i,\dot{\overline r}_i]$. Используя формулу Эйлера $\dot{\overline r}_i=[\overline\omega,\overline r_i]$ получим $\overline K_O=J_O\overline \omega$ где $\overline\omega\mapsto J_O\overline\omega=\sum m_i[\overline r_i,[\overline\omega,\overline r_i]]$ -- оператор инерции.
Момент инерции относителльно прямой с направляющим единичным вектором $\overline e$ и проходящей через точку $O$ определяется по формуле $J=(\overline e,J_O\overline e)$

[Keter]

А как тогда определить кинетическую энергию верхушки тонкого стержня? $E_{k}=\dfrac{mv^2}{2}+..$ плюс что-то же связанное с моментом инерции

[Oleg Zubelevich]

кин энергия твердого тела определяется по формуле

$$T=\frac{1}{2}m|\overline v_S|^2+\frac{1}{2}(\overline \omega,J_S\overline\omega)$$

где $S$ -- центр масс тела

[miflin]

Keter в сообщении #686425 писал(а):

Тогда интересно из чего получается соотношение $v=r \omega$

Если речь об окружности, то имеем для длины дуги:
$l=\varphi r$
Первое дифференцирование по времени дает $v=\omega r$, второе - $a_{\tau}=\varepsilon r$

[Keter]

Oleg Zubelevich, $(\overline \omega,J_S\overline\omega)$ - это скалярное произведение векторов??

miflin, понял, спасибо.