Свободная частица на многообразии

[FFFF]

Пусть свободная квантовая частичка движется по многообразию $(M,g) \ \mathrm{dim}M=n$ Я хочу записать пропагатор $\langle q_2| e^{-i \frac{p^2}{2}t}| q_1 \rangle$ через континуальный интеграл. Demichev утверждает, что в отличие от плоского случая в показателе экспоненты кроме $g_{\mu\nu} \dot{q^\mu}\dot{q^\nu}$ окажется ещё и скалярная кривизна $R$. В связи с этим два вопроса:

1). Я верю, что $p^2=-\Delta=g_{\mu\nu} \nabla^\mu\nabla^\nu$ - оператор Лапласа - Бельтрами, верно ли, что тогда просто импульс - это ковариантная производная: $p_j=i\nabla_j$? У Demichev написана похожая, но другая формула для $p_j$ из неё $\Delta$ как-то не получается, или я просто не понимаю.

2). Какой смысл можно придать выражению $\int dp |p\rangle\langle p|$ в случае многообразия? Я понимаю, что для координат можно вместо $dq$ написать элемент объёма: $\int \sqrt{g}dq |q\rangle\langle q|=1$ А вот с импульсами непонятно.

[Munin]

Кажется, эта тема называется "геометрическое квантование"...

[ИгорЪ]

Ссылка на Демичева есть? В архиве много работ типа частица на группе, посмотрите, а если многообразие простое, например сфера, то удобнее связью его вводить в лагранжиан.

[FFFF]

ИгорЪ
Chaichian Demichev Path Integrals in physics, 2.5.1 - Path integrals in curved spaces and the ordering problem

Там есть ссылка на статью De Witt 1957 года в Rev.Mod.Phys, но я её как-то не очень понял. Хочется всё сделать в случае произвольного многообразия.

-- 19.02.2013, 22:20 --

ИгорЪ в сообщении #685843 писал(а):

то удобнее связью его вводить в лагранжиан

А как это делается? (про связи совсем ничего не знаю). Есть такая идея: рассмотрим $\int \mathcal D q \exp(i \int_0^t\mathcal L d\tau)$, где $\mathcal L$ - этот самый "лагранжиан со связью". Тогда можно привести такой интеграл (уже на плоском пространстве) к какому-нибудь знакомому пропагатору. Осталось только понять, как построить $\mathcal L$