Раскраска рациональных чисел

[Ktina]

Можно ли покрасить все рациональные числа в красный и синий цвета так, чтобы сумма любых двух различных чисел одинакового цвета была красной? (Оба цвета присутствуют). (Белоруссия, 1995)

Я попыталась решить так:

Если $5a$ синее $(a\ne 0)$, то $4a, 3a, 2a$ должны иметь цвет, противоположный $a$.
Но $2a+3a=5a\to5a\in\mathbb{K}$
То есть $5a$ всегда красное, а так как любое рациональное число можно представить в виде $5a$, то синих чисел, не равных нулю, нет вообще. Но тогда и нуль не может быть синим, иначе сумма двух противоположных ненулевых чисел была бы синей. Итак, все вороны чёрные числа красные, что запрещено условием.

Почему я сомневаюсь в своём решении? Потому что авторское решение разбивается на ряд шагов и выглядит весьма угрожающе.

[Xaositect]

Ktina в сообщении #685761 писал(а):

Если $5a$ синее $(a\ne 0)$, то $4a, 3a, 2a$ должны иметь цвет, противоположный $a$.

Для $4a$ понятно, а как для $3a$ и $2a$?

[Ktina]

Xaositect в сообщении #685763 писал(а):

Ktina в сообщении #685761 писал(а):

Если $5a$ синее $(a\ne 0)$, то $4a, 3a, 2a$ должны иметь цвет, противоположный $a$.

Для $4a$ понятно, а как для $3a$ и $2a$?

Если $a$ красное, то и $5a$ красное.
Иначе $4a$ было бы синим, $3a$ тоже синим и $2a$ тоже синим. Но тогда $2a+3a=5a$ не может быть синим.

А вот если $a$ синее, тут я прокололась.
Буду думать дальше.

-- 19.02.2013, 17:39 --

Вроде теперь работает, только надо взять не 5, а 6.
Сейчас напишу.

[Ktina]

Если $5a$ синее, то возможны 4 случая:

1. $a$ и $2a$ красные. Тогда $3a, 4a, 5a, \dots 16 a$ красные.
2. $a$ и $3a$ красные. Тогда $4a, 5a, \dots 16 a$ красные.
3. $2a$ и $4a$ красные. Тогда $6a, 8a, \dots 16 a$ красные.
4. $3a$ и $4a$ красные. Тогда $7a, 10a, \dots 16 a$ красные.

Таким образом, при синем $5a$, число $16a$ не может быть синим.
Докажем, что $16a$ не может быть синим и при красном $5a$:

Предположим противное. Пусть $16a$ синее и $5a$ красное.
Тогда $11a$ синее. Но тогда и $6a$ синее. Но тогда и $a$ синее. Тогда $7a$ красное. Но тогда $12a$ красное. Тогда $4a$ синее. Но тогда $3a$ красное.
Так как $7a$ и $3a$ красные, то $16a$ опять красное.

Итак, все ненулевые числа вида $16a$ у нас красные. А значит, все, кроме нуля. Красные. Но тогда и нуль не может быть синим. Значит, такой раскраски нет.

Теперь, вроде, правильно?

[Xaositect]

Теперь правильно.

[Ktina]

Xaositect в сообщении #685797 писал(а):

Теперь правильно.

Спасибо.
А я уж думала, что до пенсии решать буду

-- 19.02.2013, 18:41 --

(Оффтоп)

Всё-таки я тупая. Ещё раз в этом убедилась. Такую задачку так долго решать -- это не дело.

[Shadow]

Можно попробовать доказать единственость разбиения для целых чисел (четные-нечетные), а потом перейти к дробям с знаменателем 2...например.
А то что нуль красный прямо из условии следует.

[Shadow]

Доказывать для целых лишнее (да и никто не говорил, что среди целых должно быть синее).
Пусть $\dfrac a q$ красное, $\dfrac b q$ синее, $a<b; a,b,q \in N$

Тогда $\dfrac 1 q, \dfrac {1}{2q},\dfrac {1}{3q}\cdots$ синие.

Но $\dfrac {1}{6q}+\dfrac {1}{3q}=\dfrac {1}{2q}$