цилиндр на плоскости

[Oleg Zubelevich]

Очень шершавая горизонтальная плоскость крутится с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. На плоскости на боку лежит прямой круговой однородный конус, вершина которого направлена к оси вращения. Конус касается плоскости по отрезку своей образующей. Прямая на которой лежит этот отрезок пересекается с осью вращения плоскости.
Расстояние от вершины конуса до оси вращения равно $a$ (остальные точки конуса лежат дальше от оси вращения плоскости). Радиус основания конуса -- $R$, высота $h$, масса $m$.

Какой должна быть угловая скорость $\omega$ чтобы вершина конуса оторвалась от плоскости ? Считаем, что проскальзывания нет.

Все происходит в поле силы тяжести.

[nikvic]

Что такое ребро основания и вершина кругового цилиндра?

[Oleg Zubelevich]

Более хорошая постановка: найти значение угловой скорости плоскости и коэффициента сухого трения конуса о плоскость, при которых вершина конуса оторвется от плоскости, при том, что конус не проскальзывает по плоскости. А для любого ли однородного конуса такая задача разрешима?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $S$ -- центр масс конуса. $Sxyz$ -- главные оси инерции конуса, ось $y$ направлена вдоль оси конуса по направлению от основания к вершине. плоскость $Sxz$ параллельна основанию конуса, ось $z$ горизонтальна.

$2\alpha$ -- угол раствора конуса; $a$ -- расстояние от оси вращения до $S$. $A$ -- точка в которой основание конуса касается плоскости, $\overline R$ -- реакция со стороны плоскости в этой точке.

все тензоры расписываются по осям $Sxyz$.

$\overline n=(\cos\alpha,-\sin\alpha,0)$ -- вектор единичной нормали к плоскости, направлен вверх, $\overline e=(\sin\alpha,\cos\alpha,0)$ -- единичный вектор параллельный плоскости.

$\overline R=F\overline e+N\overline n,\quad |F|\le\mu |N|$ где $\mu$ -- коэффициент сухого трения конуса о плоскость.
$\overline g=-g\overline n,\quad\overline \omega=\omega\overline n,\quad \overline a_S=\omega^2a\overline e,\quad \overline {SA}=-(h,b,0)$ где $h,b>0$ -- геометрические хактеристики конуса. $J_S=\mathrm{diag}\,(J,I,J)$.

Остается подставить это все в уравнения движения:

$$[\overline \omega,J_S\overline\omega]=[\overline {SA},\overline R],\quad m\overline a_S=m\overline g+\overline R$$

3 уравнения -- 3 неизвестных: $\omega,F,N$

[zer0]

Да уж - тема озаглавлена цилиндр на плоскости, а речь идет о конусе. "Сами не знают, чего хочут"...

[DimaM]

(Оффтоп)

zer0 в сообщении #685483 писал(а):

Да уж - тема озаглавлена цилиндр на плоскости, а речь идет о конусе. "Сами не знают, чего хочут"...

"Из баллона с гелием вытекает кислород..."

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

да, для некоторых и опечатку в заголовке найти -- уже достижение. вот так опечатка превращается в IQ тест

[zer0]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #685800 писал(а):

да, для некоторых и опечатку в заголовке найти -- уже достижение. вот так опечатка превращается в IQ тест

IQ-тест для ТС Впечатление, что условия задачи "высасывались из пальца" на ходу, в процессе написания этих условий. Во всяком разе, я при решении задачи представляю объекты и конус с цилиндром не спутаю