Самогравитирующий газ и распределение Гиббса

[SergeyGubanov]

SergeyGubanov в сообщении #683924 писал(а):

myhand в сообщении #680705 писал(а):

Читаем ваш опус...

Для истории...

Мы с myhand пообщались в личке. Он меня убедил, что для самогравитирующего газа использовать распределение Гиббса нельзя. Дело в том, что при выводе распределения Гиббса пользуются аддитивностью энергии, то есть энергия системы должна быть равна сумме энергий подсистем (энергия взаимодействия подсистем должна быть очень маленькой). А в случае самогравитирующего газа энергия взаимодействия "подсистем" имеет тот же порядок, что и энергия "подсистемы".

Пообщались в личке с zask, в результате чего возник вопрос. Вот когда, например, Чандрасекар вычислял свой знаменитый предел для белых карликов, он же пользовался распределением Ферми-Дирака. Но вроде как понятно, что если нельзя для самогравитирующего объекта использовать распределение Гиббса, то по той же причине нельзя и Ферми-Дирака. А что можно? Как быть? Что делать? Только через кинетическое уравнение? Как теперь относиться к расчётам Чандрасекара?

[SergeyGubanov]

Собственно сам Чандрасекаровский предел прямо указывает на неаддитивность. Была бы аддитивность, не было бы Чандрасекаровского предела, белый карлик мог бы быть любой массы.

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #684085 писал(а):

Но вроде как понятно, что если нельзя для самогравитирующего объекта использовать распределение Гиббса

Да почему-же нельзя-то? Можно, просто не так как для газа в банке. Если облако стационарное (валшебным образом) - каждый его небольшой "кусок" можно рассмотреть как газ во внешнем поле, находящийся в равновесии - а внутренним взаимодействием принебречь вовсе. Формально, получаем для этого куска - Гиббса с некоторой температурой, причем $T = T(\vec r)$.

Насколько я понимаю, только аргументы такого типа из статфизики и используются при выводе предела Чандрасекара. Звезде в целом не приписывается какая-то температура.

[Sh18]

myhand в сообщении #684257 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #684085 писал(а):

Но вроде как понятно, что если нельзя для самогравитирующего объекта использовать распределение Гиббса

Да почему-же нельзя-то? Можно, просто не так как для газа в банке. Если облако стационарное (валшебным образом) - каждый его небольшой "кусок" можно рассмотреть как газ во внешнем поле, находящийся в равновесии - а внутренним взаимодействием принебречь вовсе. Формально, получаем для этого куска - Гиббса с некоторой температурой, причем $T = T(\vec r)$.

Насколько я понимаю, только аргументы такого типа из статфизики и используются при выводе предела Чандрасекара. Звезде в целом не приписывается какая-то температура.

Одна вещь тут у меня вызвала смутное сомнение, и действительно:
"для вырожденного электронного газа температура в уравнение состояния не входит — его давление от температуры при сохранении состояния вырождения не зависит".
Из вики, но не думаю, что они врут. Далее давление приравнивается гравитации. Но точный расчет я, конечно, не знаю.

ЗЫ. Это по поводу Чандрасекара, конечно.

[SergeyGubanov]

myhand в сообщении #684257 писал(а):

каждый его небольшой "кусок" можно рассмотреть как газ во внешнем поле, находящийся в равновесии - а внутренним взаимодействием принебречь вовсе. Формально, получаем для этого куска - Гиббса с некоторой температурой, причем $T = T(\vec r)$.

А ничего что с одной стороны газ в равновесии, а с другой строны температура не постоянна?

А как вычислить $T(r)$, скажем, для сферически симметричного облака самогравитирующего Больцмановского газа?

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #684268 писал(а):

myhand в сообщении #684257 писал(а):

каждый его небольшой "кусок" можно рассмотреть как газ во внешнем поле, находящийся в равновесии - а внутренним взаимодействием принебречь вовсе. Формально, получаем для этого куска - Гиббса с некоторой температурой, причем $T = T(\vec r)$.

А ничего что с одной стороны газ в равновесии, а с другой строны температура не постоянна?

Для "кусочка" - постоянна. А про то, что все облако находится в состоянии термодинамического равновесия - как раз я и не писал. С такой гипотезой как раз и возникают проблемы.

Было сделано только предположение о стационарности распределения скопления в целом - ни слова про термодинамику.

SergeyGubanov в сообщении #684268 писал(а):

А как вычислить $T(r)$, скажем, для сферически симметричного облака самогравитирующего Больцмановского газа?

Берем наше (богоданное!) стационарное распределение. Интегрируем по импульсам: получаем плотность, потенциал как функции $\vec r$ - подставляем в формулу $\rho \propto \exp(-\frac{m \varphi(\vec r)}{T(\vec r)})$ :)

Sh18 в сообщении #684259 писал(а):

Из вики, но не думаю, что они врут. Далее давление приравнивается гравитации.

Нет, не врут. 1) да, не зависит. 2) да, просто решают уравнение для гидростатического равновесия.

[SergeyGubanov]

myhand в сообщении #684277 писал(а):

Берем наше (богоданное!) стационарное распределение. Интегрируем по импульсам: получаем плотность, потенциал как функции $\vec r$ - подставляем в формулу $\rho \propto \exp(-\frac{m \varphi(\vec r)}{T(\vec r)})$ :)

А, не, я же наоборот хочу. Хочу откуда-то из первых принципов взять $T(r)$, а потом по нему вычислить $\rho(r)$. Обратный инженеринг не хочу.

Хотя, примерно понятно как температуру вычислить. Наиболее вероятная скорость частиц на расстоянии $r$ от центра облака равна первой космической скорости. Если бы скорость была меньше, то частицы бы падали в центр, а если больше, то улетали бы. Если $v(r)$ первая космическая скорость, то температура $T(r)$ будет какая-то такая:

$$k \, T(r) = \alpha \, \frac{1}{2} m v^2(r)$$

$\alpha$ - какая-то константа (феноменологический параметр моей теории).

Поскольку $v^2 = r \frac{d\varphi}{dr}$, то получаем систему уравнений для газового облака:

$$\Delta \varphi (r) = 4 \pi G \rho_0 \exp \left( - \frac{m \varphi(r)}{k\, T(r)} \right) \eqno(1)$$

$$k \, T(r) = \alpha \, \frac{1}{2} m \, r \, \frac{d\varphi}{dr} \eqno(2)$$

Феноменологический параметр $\alpha$ возьму из эксперимента...

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #684281 писал(а):

Наиболее вероятная скорость частиц на расстоянии $r$ от центра облака равна первой космической скорости. Если бы скорость была меньше, то частицы бы падали в центр, а если больше, то улетали бы.

Не смотря на то, что частицы падают на центр - они же и вылетают из этого самого центра. Все, что вы можете утверждать - эти процессы сбалансированы. А какие ограничения это будет накладывать на скорости - наверно, будет как-то и от плотностей/масс зависеть?

Кстати, потенциал какой-то у вас сингулярный в центре получается ($T(0)\ne 0$?).

[SergeyGubanov]

myhand в сообщении #684303 писал(а):

Не смотря на то, что частицы падают на центр - они же и вылетают из этого самого центра.

Если у частицы скорость меньше чем первая космическая на радиусе $r$, то до радиуса $r$ частица не долетит, а будет вращаться ближе к центру. Если, наоборот, у частицы скорость будет большая, то да, летая по сильно вытянутой орбите она может попадать и в окрестность центра тоже.

Смотрите какая прелесть получилась с $\alpha=1$:

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #684309 писал(а):

Если у частицы скорость меньше чем первая космическая на радиусе $r$, то до радиуса $r$ частица не долетит, а будет вращаться ближе к центру.

Ничего не понял. Нельзя ли точнее?

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #684309 писал(а):

Если, наоборот, у частицы скорость будет большая, то да, летая по сильно вытянутой орбите она может попадать и в окрестность центра тоже.

Ну, представление о таких "орбитах" - это уже слишком... Все, что можно сказать, если больше, в данной точке - сможет улететь выше. Но выше - есть тоже какое-то распределение частиц, другая плотность - есть те, скорость которых меньше первой космической; они упадут, соответственно. Важен баланс.

SergeyGubanov в сообщении #684309 писал(а):

Смотрите какая прелесть получилась

Думаю, это не единственный возможный выбор $\rho(\varphi)$ "с потолка", при котором может получиться что-то разумное.

(Оффтоп)

Считать в Математике можно чуть проще, не тыкая ее носом в Evaluate лишний раз.

min = 0.1;
max = 1.0;
F = 5.0;
sol = NDSolve[{D[r^2 D[f[r], r], r]/r^2 == 
      Exp[-2 f[r]/(r D[f[r], r])], f[min] == 0, f'[min] == F}, 
    f, {r, min, max}][[1]];
Plot[r^2 f'[r] /. sol, {r, min, max}, PlotLabel->"Масса"]

[SergeyGubanov]

Someone в сообщении #684391 писал(а):

Ничего не понял. Нельзя ли точнее?

Я имел ввиду круговые орбиты. Первую космическую скорость $v^2 = r \, \varphi'$ я посчитал наиболее вероятной скоростью на радиусе $r$. "С потолка" конечно, однако, ну а какая ещё скорость может быть наиболее вероятной? Если это так, то зависимость температуры от радиуса: $k \, T(r) = 1/2 \, m \, r \, \varphi'$. Потом впихнул феноменологический параметр $\alpha$, на всякий пожарный...

[Утундрий]

SergeyGubanov
http://www.astronet.ru/db/msg/1169513/index.html