Орленок-2011

[Terraniux]

Приветствую всех!
Вот 2 очень сложные геометрии с ЮМТ-2011. Тогда их никто, вроде не решил.
1. На продолжении биссектрисы $AL$ остроугольного треугольника ABC выбрана точка D такая, что $\angle BDC + \angle BAC = 90^o$. Точка $D'$ диаметрально противоположна точке D на описанной окружности треугольника BDC. Точка E - Середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC. Отрезки $AD$ и $ED'$ пересекаются в точке F. Точка T - проекция F на BC. Докажите, что $\angle BED = \angle TAC$.
2.В прямоугольном треугольнике $ABC$ с $\angle B = 90$ D - точка касания вписанной окружности с BC. Точки X, Z - центры окружностей, вписанных в ABD и ADC. Прямая XZ пересекает прямую AD в точке K, А описанную окружность треугольника ABC - в точках U, V. Прямая AD вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке Y. Точка M - середина отрезка UV. Д-ть, CY = 2MK.

[_Ivana]

Первое впечатление - во второй задаче должен сработать читерский метод - введение системы координат и запись всех соотношений, пересечений, середин и центров в виде координат точек и уравнений прямых. Тупой, нудный, но работающий и не требующий никаких творческих дополнительных построений и "спецтеорем".

[Terraniux]

_Ivana в сообщении #683627 писал(а):

Первое впечатление - во второй задаче должен сработать читерский метод - введение системы координат и запись всех соотношений, пересечений, середин и центров в виде координат точек и уравнений прямых. Тупой, нудный, но работающий и не требующий никаких творческих дополнительных построений и "спецтеорем".

Так постареть можно, пока запишешь все это и вычислишь...
Кроме того, эта задача была на олимпиаде, и там команде отводилось 5 часов на решение 8-ми задач, одна из которых - 2-я. Поэтому, там должен был быть какой-то хитрый способ.

С первой вообще ад - даже рисунок не получается нормальный сделать.

[_Ivana]

Terraniux в сообщении #684146 писал(а):

и там команде отводилось 5 часов

вот и надо было выбрать самого аккуратного, исполнительного и наименее творческого участника, и оставить его на все время с этой задачей Хотя согласен, путь нудный. Но, повторюсь - гарантированный и сразу ясен порядок действий. Я нашел координаты точек D, X и Z, но дальше решил не стареть преждевременно Хотя, если будет шило энтузиазм, то может и доведу до конца.

ЗЫ хотя по предложенному методу набить программку численного решения и проверки утверждения (какая там получится точность) для всех треугольников с определенным шагом можно за полчаса, но это совсем как-то неспортивно, да и не доказывает требуемое в общем виде.

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #684369 писал(а):

ЗЫ хотя по предложенному методу набить программку численного решения и проверки утверждения (какая там получится точность) для всех треугольников с определенным шагом можно за полчаса, но это совсем как-то неспортивно, да и не доказывает требуемое в общем виде.

Есть же системы компьютерной алгебры, где всё доказательно. Если компьютеры не запрещены, то математически строгое решение 2-й задачи --- сущий пустяк на пять минут.

[Terraniux]

Компы были запрещены на турнире-2011, приравнявшись к читерству.

[_Ivana]

nnosipov, все правильно, только я с такими системами не работал, а в цифрах это можно сделать много где.
Terraniux, все правильно, этот читерский метод надо аккуратно расписать на бумажке

[nnosipov]

Я бы разрешил использование систем динамической геометрии типа geogebra --- картинки будут правильные, их можно будет подвигать и как-то нащупать вспомогательные утверждения, способствующие доказательству. Но само доказательство здесь автоматически не прилагается, его придётся сочинять самостоятельно.

-- Сб фев 16, 2013 13:07:07 --

_Ivana в сообщении #684458 писал(а):

этот читерский метод надо аккуратно расписать на бумажке

Посчитал в Maple --- во 2-й задаче в промежуточных выкладках придётся иметь дело с многочленами 8-й степени от одной переменной (это если использовать комплексные числа; в обычных декартовых координатах будет ещё хуже). Это нереально для ручного счёта.

[_Ivana]

Я решил не стареть преждевременно и доказал вторую задачу комбинированным методом - через декартову систему координат и уравнения прямых доказывается, что ZX перпендикулярна AD (могу представить выкладки, только это будет больше моя тренировка в ТЕХе), а дальше тривиально через подобие прямоугольных треугольников (с гипотенузами равными диаметру и радиусу описанной окружности). Полагаю, что авторы задачи имели в виду доказательство перпендикулярности вышеупомянутых отрезков с помощью дополнительных построений или "спецтеорем".

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #684800 писал(а):

и доказал вторую задачу комбинированным методом - через декартову систему координат и уравнения прямых доказывается, что ZX перпендикулярна AD

Вот это действительно имеет смысл --- комбинировать. Эту перпендикулярность вручную просчитать вполне можно, выражения для точек $A$, $D$, $X$, $Z$ негромоздкие. Правда, предварительно её нужно было заметить Для таких вот наблюдений geogebra была бы неплохим инструментом. Можно, конечно, и самому картинки аккуратно рисовать, но не так эффективно будет в общем случае.

[Terraniux]

nnosipov в сообщении #684850 писал(а):

_Ivana в сообщении #684800 писал(а):

и доказал вторую задачу комбинированным методом - через декартову систему координат и уравнения прямых доказывается, что ZX перпендикулярна AD

Вот это действительно имеет смысл --- комбинировать. Эту перпендикулярность вручную просчитать вполне можно, выражения для точек $A$, $D$, $X$, $Z$ негромоздкие. Правда, предварительно её нужно было заметить Для таких вот наблюдений geogebra была бы неплохим инструментом. Можно, конечно, и самому картинки аккуратно рисовать, но не так эффективно будет в общем случае.

Хм, а что мешает тайно их использовать только для наблюдений?

[nnosipov]

Да ничего не мешает. Я к тому, что запреты должны быть разумными: Maple должен быть безусловно запрещён, а вот что-то типа этой геогебры (которой в принципе ничего доказать нельзя) можно и разрешить --- решение геометрических задач веселей пойдёт. Это же нехорошо, что такие задачи никто не решил.

[matidiot]

_Ivana в сообщении #684800 писал(а):

Я решил не стареть преждевременно и доказал вторую задачу комбинированным методом - через декартову систему координат и уравнения прямых доказывается, что ZX перпендикулярна AD (могу представить выкладки, только это будет больше моя тренировка в ТЕХе), а дальше тривиально через подобие прямоугольных треугольников (с гипотенузами равными диаметру и радиусу описанной окружности). Полагаю, что авторы задачи имели в виду доказательство перпендикулярности вышеупомянутых отрезков с помощью дополнительных построений или "спецтеорем".

Чтобы доказать перпендикулярность ZX и AD, достаточно доказать, что окружности, вписанные в ABD и ADC, касаются друг друга. Для доказательства вычисляем расстояния от точки D до точек касания окружностей отрезка AD, они равны для окружности, вписанной в ABD: $\frac {r+d-c} {2}$ и для окружности, вписанной в ADC: $\frac {d+a-r-b} {2}$, где $a=BC,b=AC,c=AB,d=AD$, r - радиус окружности, вписанной в АВС. Эти расстояния равны в силу того, что для прямоугольного треугольника $r=\frac {a+c-b} {2}$ (a,c - катеты, b - гипотенуза), т.е. эти две окружности касаются друг друга в общей точке K, а отсюда их внутренняя касательная AD перпендикулярна прямой XZ.