Непонятная строчка из "Будылина"

[_20_]

Здравствуйте.
Будылин, Вариационное исчисление, с 56.
Не могу понять, из чего получилось следующее:
$\frac {\partial G}{\partial \dot{x}} =\frac { \partial F}{ \partial y'} (- \dot{y}/\dot{x}^2)\dot{x}+F = F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}$

Где $\frac {\partial G}{\partial x} =\frac { \partial F}{ \partial x }\dot x$

[_20_]

[Narn]

Получается просто в силу того, что авторы обозначили через $G$:
$$ G(x,y,\dot{x},\dot{y}) = F(x,y, \dot{y}/\dot{x}) \dot{x} $
Теперь надо просто дифференцировать это по $x$ и по $\dot{x}$, как по обычным переменным.
По $x$ все вообще просто - $\dot{x}$ мы считаем независимой переменной, и поэтому получается
$\frac {\partial G}{\partial x} =\frac { \partial F}{ \partial x }\dot x$
Ну а по $\dot{x}$ - производная произведения и производная сложной функции дают как раз
$\frac {\partial G}{\partial \dot{x}} =\frac { \partial F}{ \partial y'} (- \dot{y}/\dot{x}^2)\dot{x}+F = F-y'\frac{\partial F}{\partial y'}$

Ну и в последнем равенстве мы уже вспомнили, что все-таки $\dot{x}$ и $\dot{y}$ - не просто переменные,
а производные, и их отношение дает $y'$.
Если непонятно - можно это расписать более аккуратно, конечно.

[_20_]

Спасибо большое, непонятно только откуда минус взялся.

[Narn]

_20_ в сообщении #684825 писал(а):

непонятно только откуда минус взялся.

Потому что производная $1/x$ - это $-\frac{1}{x^2}$
А третьим аргументом $F$ стоит $\frac{\dot{y}} {\dot{x}} $

[_20_]

Я решил уравнение так:
$\frac{\partial F}{\partial(\dot {y}/\dot {x})}\frac{d(\dot y/\dot x)}{d\dot x}=\frac{\partial F}{\partial(\dot {y}/\dot {x})}(\frac {(d \dot y /d\dot x) \dot x - (d \dot x /d\dot x) \dot y}{\dot x^2} )$

-- 17.02.2013, 02:54 --

там конечно же $d\dot x/d\dot x$ сокращаетя, но мне от этого не легче.

[Narn]

Не так. Воспринимайте $\dot{x}$, $\dot{y}$ как независимые переменные.
То есть $\frac{\partial \dot{y} }{\partial \dot{x}} = 0 $,
а вместо $\frac{\partial F}{\partial(\dot {y}/\dot {x})}$
пишут $\frac{\partial F} {\partial y'}$, потому что исходная функция
была $F(x, y, y')$.
Просто очень лень мне сейчас все это аккуратно формально расписывать.
Да в вариационном исчислении и не делают так обычно.
Проще Вам понять это маленькое дао

[_20_]

Ясно, спасибо.