Задачи по комплексному анализу

[Tanais]

Не знаю, как это делать!
№1. Выяснить, в каких точках комплексной плоскости имеет производную функция $w=tg(y)-i*tg(x)$; чему равна производная в каждой точке из них. Является ли данная функция аналитической в каких-нибудь точках плоскости?
№2.На какте линии $w$-плоскости отображает данная функция указанную кривую: $w=\frac 1 z; x=1$?
№3. Вычислить интеграл (не пользуясь теорией вычетов)

$$\int_{\Gamma}^{} \frac{\sqrt{z}} {z}dz$$

, где $\Gamma$ - контур квадрата с вершинами в точках: $1;i;-1;-i$. Интегрирование ведется в положительном направлении.
Заранее всем дико благодарна!

[Gordmit]

№1. Запишите условия Коши-Римана для данной функции.
№2. Как сделать "в лоб": параметризуйте прямую и подставьте в функцию, выразите $x={\mathrm Re}\, w$, $y={\mathrm Im}\, w$ через параметр и нарисуйте кривую заданную параметрически. Легко будет заметить, что получится окружность.
№3. Посчитайте интегралы по каждой стороне квадрата, используя для нее нужную параметризацию.

[RIP]

В №3 можно обойтись и без параметризации. У функции $\frac{\sqrt z}z$ замечательно находится первообразная, поэтому тут удобно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

[Tanais]

Спасибо. Если несложно, то подскажите еще две задачи:
№1.
Разложить функцию $w=f(z)$, в ряд Тейлора по степеням $z-a$и определить круг разложимости: $w=cos(3z-i)$, $a=0$.
№2.
Найти всевозможные разложения в ряд Лорана функции $f(z)$ по степеням $z-a$: $f(z)=$ $ \frac {1}{z(2-3z)}$, $a=0$.

[Brukvalub]

№1 - можно начать с формулы косинуса разности двух аргументов...
№2- попробуйте разложить дробь в сумму простейших дробей и для каждой из них использовать формулу суммы членов беск. убывающей геом. прогрессии.

[RIP]

В №2 можно и попроще в данном примере, поскольку разложение идёт по степеням $z$. Достаточно разложение ряда Лорана функции $\frac1{2-3z}$ умножать на $1/z$. В данном примере Вам (Tanais) надо понять, в каких областях надо раскладывать в ряд Лорана, и затем пользоваться подсказкой Brukvalubа про геометрическую прогрессию.