Идеальный газ. Молярная теплоемкость.

[kis]

Для нагревания $m = 2kg$ неизвестного газа на $T = 5K$ при постоянном давлении требуется количество теплоты $Q_p = 9.1$ кДж, а для нагревания при постоянном объеме $Q_V = 6.5$ кДж. Какой это может быть газ?
Вопрос задачи можно перефразировать - какая молярная масса этого газа?

есть две формулы:
$\[{Q_p} = {C_p}\nu T = \frac{5}{2} R \frac{m}{\mu }T\]$

$\[{Q_V} = {C_V}\nu T = \frac{3}{2} R \frac{m}{\mu }T\]$
из этих формул можно выразить мю - молярную массу. формулы дают разные значения молярной массы (0.022 и 0.019).

в чем у меня ошибка?

p.s. решение этой задачи знаю, в решебнике находится МЮ из других соображений.

[gris]

Формулы неверны. Уточните коэффициенты.
Намёк: отношение теплоёмкостей равно отношению количеств теплоты и равно $1.4=7:5$. Что бы это значило?

[DimaM]

Я бы глянул на разницу теплоемкостей, она для идеального газа не зависит от строения молекул. И все получится.

[gris]

Увы, это не приведёт к решению. Одна молярная масса не всегда определяет газ.
Например, для молярной массы $\mu=32$ подойдут молекулярный кислород, пары гидразина или метилового спирта.

[DimaM]

gris в сообщении #684109 писал(а):

Увы, это не приведёт к решению. Одна молярная масса не всегда определяет газ.
Например, для молярной массы $\mu=32$ подойдут молекулярный кислород, пары гидразина или метилового спирта.

Действительно. Придется молекулярный состав определять по одной из теплоемкостей.

Хотя, сдается мне, в школьных задачах "газ" - это газообразное при комнатной температуре (или при н.у.), так что гидразин с метанолом отпадают.

[gris]

Ну да, там, конечно, привычный кислород, но задача явно сконструирована, чтобы ученик продемонстрировал, что имеет понятие о степенях свободы.

[kis]

gris в сообщении #684097 писал(а):

Формулы неверны. Уточните коэффициенты.
Намёк: отношение теплоёмкостей равно отношению количеств теплоты и равно $1.4=7:5$. Что бы это значило?

$\[\frac{{{C_p}}}{{{C_V}}} = \frac{{\frac{{{Q_P}}}{{\nu \cdot \Delta T}}}}{{\frac{{{Q_V}}}{{\nu \cdot \Delta T}}}} = \frac{{{Q_p}}}{{{Q_V}}} = \frac{{{c_p}m \cdot T}}{{{c_V}m \cdot T}} = \frac{{{c_p}}}{{{c_V}}}\]$
т.е.
$\[\frac{{{C_p}}}{{{C_V}}} = \frac{{{Q_p}}}{{{Q_V}}} = \frac{{{c_p}}}{{{c_V}}}\]$

энто значит, что при разных процессах удельная теплота разная. Это говорит о том, что при изобарном процессе теплота расходуется на изменение внутренней энергии и совершение работы газом. А при изохорном - вся подводимая теплота расходуется на изменение энергии газа. Поэтому теплоемкости разные. А почему формулы из старт-поста неверны? это ведь определение молярной теплоемкости.

[gris]

Вы привели формулы для одноатомного газа, а у нас не сказано про это. Например, у двухатомного газа соответствующие коэффициенты будут не $\dfrac52$ и $\dfrac32$, а $\dfrac72$ и $\dfrac52$.

[nestoronij]

Надо в случае $ Q_p$ учитывать работу газа, которую можно выразить: $ P \Delta V = \nu R \Delta T$
И должно всё получиться.

[kis]

а! отношение теплоты позволяет узнать, сколько степеней свободы у данного газа:
$\[{C_p} = \frac{{{Q_p}}}{{\nu T}} = \frac{{A + \Delta U}}{{\nu T}} = \frac{{P\Delta V + \frac{i}{2}\nu RT}}{{\nu T}} = \frac{{\nu RT + \frac{i}{2}\nu RT}}{{\nu T}} = R + \frac{i}{2}R\]$
$\[{C_V} = .\,.\,. = \frac{i}{2}R\]$

$\[\frac{{{Q_P}}}{{{Q_V}}} = \frac{{{C_p}}}{{{C_V}}} = \frac{{R + \frac{i}{2}R}}{{\frac{i}{2}R}} = \frac{7}{5}\]$,

$i = 5$

Для данного газа:
$\[{C_p} = \frac{7}{2}R\]$
$\[{C_V} = \frac{5}{2}R\]$

Но если составить уравнения:
$\[{Q_p} = \frac{7}{2}R \cdot T \cdot \frac{m}{\mu }\]$
$\[{Q_V} = \frac{5}{2}R \cdot T \cdot \frac{m}{\mu }\]$
то они дадут разные значения молярной массы $\mu$ и ни одно из них не совпадает с ответом :)

UPD:
хотя нет, последнее уравнение для изохорного процесса дает ответ: $\mu = 0.0319 = 0.032$ - с ответом совпадает. А почему для изобарного процесса получается $\mu = 0.013$?

[gris]

Разные? По-моему, одинаковые. Это же как раз из пропорции $7:5$
следует. Ну немножко округлим до целых грамм на моль.

[kis]

kis в сообщении #684329 писал(а):

UPD:
хотя нет, последнее уравнение для изохорного процесса дает ответ: $\mu = 0.0319 = 0.032$ - с ответом совпадает. А почему для изобарного процесса получается $\mu = 0.013$?

из уравнения при постоянном давлении молярная масса выходит неверной
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve[9.1+10^3+%3D%3D+7%2F5+*8.31+5+*2%2FM%2C+M]

[gris]

$\mu=7/2\cdot8,31\cdot 5\cdot2/9.1\approx 32$

[kis]

а! у меня очепятка. все правильно, спасибо :)

[JIogin]

$ k $ - это постоянная Больцмана??