Поиск резонансной частоты в уравнении Матьё

[cls]

Есть стандартная задача о математическом маятнике с колеблющимся вертикально по гармоническому закону подвесом.

Как доказывается, что резонанс будет, когда частота колебаний подвеса в 2 раза больша собственной частоты? (Ландафшица не предлагать :) )
Перерыл много книг, но там в основном говорится о свойстве решений уравнения Матьё. А в Ландафшице написано классическое для него "Решение будем искать в следующем виде...". Он забыл написать "Очевидно, что..." :)

[Oleg Zubelevich]

Теория возмущений для уравнения Матье (малый параметр при косинусе) обсуждается в [А. Найфэ "Методы возмущений"]. Путать уравнение Матье с задачей о математическом маятнике с колеблющейся точкой подвеса не надо.

[cls]

Я не путаю, ведь эта задача к нему сводится, что уж тут поделать.

[Oleg Zubelevich]

cls в сообщении #684203 писал(а):

Я не путаю, ведь эта задача к нему сводится, что уж тут поделать.

ну-ну

Вообще вопрос совершенно тривиальный. Имеется система $\dot x=(A+\varepsilon B(t))x$ матрица $B$ -- $\omega-$периодична. Можно найти асимптотику мультипликаторов этой системы при малых $\varepsilon$. Для этого надо разложить в ряд фундаментальную матрицу ситемы

$$\dot X=\dot X_0+\varepsilon \dot X_1+...=AX_0+\varepsilon(B(t)X_0+AX_1)+...,\quad X_0(0)=I,\quad X_k(0)=0,\quad k\in\mathbb{N}$$

откуда
$\dot X_0=AX_0,\quad \dot X_1=B(t)X_0+AX_1$ -- системы с постоянной матрицей , решаются явно.
Предположим, что собственные числа матрицы $X_0(\omega)$ различны. Тогда при малых $\varepsilon$ собственные числа матрицы $X_0(\omega)+\varepsilon X_1(\omega)$ являются первым приближением мультипликаторов исходной системы, и если среди них есть большие 1 по модулю, то исходная система неустойчива по Ляпунову при малых $\varepsilon$ -- "резонансный случай". (Если все по модулю <1 то система асимптотически устойчива, но в гамильтоновых системах так не бывает)