Импульс вещества в космосе

[SergeyGubanov]

Sh18 в сообщении #683982 писал(а):

Сергей, а если проинтегрировать тензор энергии-импульса по пространственно-подобному сечению? Вот тут у меня всегда была непонятка. Для плоского пространства будет вектор энергии-импульса, можно показать, что сохраняется, если T достаточно хорошо убывает, как в Нетер. Для почти плоского... ну, бог с ним, почти то же самое. А для кривого? Получится вектор? В какой точке? Что означает? Я так понимаю, это означает, что вектор энергии-импульса в кривом пространстве просто не определен. Возможно, именно потому, что не определен тензор для грав. поля. Но что это за вектор? (я имею в виду больше ОТО, конечно, но интересно и что в ТГВ)

Из четырёхмерного тензора энергии импульса $T_{\mu \nu}$ можно соорудить векторную 3-форму $p_{\mu}$:

$$p_{\mu} = T_{\mu \nu} (\star dx)^{\nu} = T_{\mu \nu} g^{\nu \sigma} \frac{1}{3!} \varepsilon_{\sigma \alpha \beta \gamma} dx^{\alpha} \wedge dx^{\beta} \wedge dx^{\gamma}, \qquad \varepsilon_{0 1 2 3} = + \sqrt{- g}$$

Чтобы проинтегрировать, её надо сначала свернуть по индексу $\mu$ с каким-то вектором (взять проекцию). Проектировать будем на тетраду $e^{\mu}_{(a)}$ (тетрада ковариантно постоянная $\nabla_{\nu} e^{\mu}_{(a)} = 0$), получаем четыре 3-формы $p_{(a)}$:

$$p_{(a)} = p_{\mu} e^{\mu}_{(a)}$$

Они от системы координат не зависят: все тензорные индексы свёрнуты, по отношению к преобразованиям координат это скаляры, интегрировать можно. Однако есть лоренцевские индексы, то есть $p_{(a)}$ зависит от системы отсчёта. В другой системе отсчёта $e'^{\mu}_{(a)} = L_{a}^{b}(x) \, e^{\mu}_{(b)}$, $p'_{(a)} = L_{a}^{b}(x) \, p_{(b)}$.

Фиксируем систему отсчёта, то есть запрещаем локально лоренцевы вращения матрицей $L_{a}^{b}(x)$ и интегрируем эти четыре 3-формы по 3D-пространству, откуда его брать я писал там: topic66658.html.

$$P_{(a)} = \int p_{(a)} = \int e^{\mu}_{(a)} p_{\mu} = \int e^{\mu}_{(a)} T_{\mu \nu} g^{\nu \sigma} \frac{1}{3!} \varepsilon_{\sigma \alpha \beta \gamma} dx^{\alpha} \wedge dx^{\beta} \wedge dx^{\gamma}$$

Получили набор из четырёх чисел $P_{(0)}$, $P_{(1)}$, $P_{(2)}$ и $P_{(3)}$. Сохраняются ли эти числа во времени выбранной нами системы отсчёта? А тут сюрприз. Что такое время в нашей системе отсчёта? Это то, вдоль чего "торчит" четырёхвектор $e^{\mu}_{(0)}$ или "приростает" 1-форма $e^{(0)} = e^{(0)}_{\mu} dx^{\mu}$. Но в общем случае дифференциальная 1-форма $e^{(0)}$ неголономна $de^{(0)} \ne 0$ и не может быть представлена в виде $e^{(0)} = c \, dt$, то есть в общем случае в абы как взятой системе отсчёта никакого такого $t$ не существует, буквы $t$ просто нет.

Что в ТГВ? А в ТГВ фактически постулируется, что в любом физически-реализуемом пространстве событий обязательно существует система отсчёта, в которой $de^{(0)} = 0$, то есть $e^{(0)} = c \, dt$. Этот постулат накладывает ограничение на структуру пространства событий (машины времени не существует). Но если у нас есть $t$, то мы и систему координат под него можем заточить с самого начала, положим $x^{0} = c t$ и всё тут. После этого самый общий вид метрики будет таким:

$$ds^2 = c^2 dt^2 - \gamma_{i j} \left( dx^i - V^i dt \right) \left( dx^j - V^j dt \right)$$

Вместо тензора энергии импульса $T_{\mu \nu}$, который пропорционален $\delta S / \delta g^{\mu \nu}$ в ТГВ существует гравитационный ток $\delta S / \delta V^i$ и тензор гравитационного напряжения $\delta S / \delta \gamma_{i j}$. Гравитационный ток и тензор напряжений удовлетворяют определённым соотношениям (некий аналог тождеств Гильберта). Гравитационный ток это плотность потока трёхмерного импульса (для электромагнитного поля это вектор Умова-Пойтинга). Коль известно время $t$ Гамильтониан получается стандартным способом. Во времени $t$ сохраняется полная энергия Мира. Полный импульс Мира (он же гравитационный ток) равен нулю даже локально (даже интеграл не надо брать), это связано с тем простым фактом, что гравитационный ток получается вариацией $\delta S / \delta V^i$, но согласно принципу наименьшего действия эту вариацию надо занулить. Собственно в ОТО примерно тоже самое: вариацию полного действия $\delta S / \delta g^{\mu \nu}$ надо занулить. Отличие в том, что в ОТО под зануление подпадает и полная плотность энергии тоже (ОТО работает только с нулевыми модами полного Гамильтониана Мира).

-- 15.02.2013, 01:40 --

Munin в сообщении #684038 писал(а):

Строго говоря, в общем случае да, но поскольку Вселенная по стандартной космологической модели однородна, всё-таки можно.

Да, но только в той системе отсчёта, в которой трёхмерное пространство евклидово. Если перейти в движущуюся систему отсчёта, то в силу искривлённости четырёхмерья то движущееся трёхмерье тоже окажется искривлённым.

[Sh18]

Munin в сообщении #684038 писал(а):

Если бы вы сказали, что хотите понять что-то, я бы, может быть, и не счёл за труд. А так, только замечу, что "зачесть" и "зачитать" - слова разные.

То есть, сказать гадость, например, намекнув на недалекость оппонента, вы можете так, походя, по доброте душевной. А отвечать за это - только в виде поучения, при благоговейном внимании. Понятно. Хотя да, мне же объяснили, что если признаю, что не прав, то вы мне это докажете ) Ладно, Мунин, живите с богом. В одном zask, безусловно, прав - пора заканчивать. На ваши замечания-поучения я больше не реагирую, так что, жалуйтесь сразу модератору.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #684080 писал(а):

Да, но только в той системе отсчёта, в которой трёхмерное пространство евклидово.

Нет, не "трёхмерное пространство евклидово", а Вселенная неподвижна. Трёхмерное пространство в моделях Фридмана-Леметра может быть неевклидовым.

[Sh18]

Сергей, спасибо, я понял. Координаты, собсно, тут дело десятое. Первое: интеграла от Т не существует, только интегралы от р-форм по соответствующим поверхностям. То есть, сначала из Т надо сконструировать (n-1)-форму (вот тут уже нужна система координат), потом ее интегрировать по гиперповерхности. И второе: интеграл всегда дает скаляр. То есть, посчитать суммарную энергию в кривом пространстве еще можно, а вот импульс, в общем случае, нельзя, из интеграла вектор не получается. Что и понятно - вектор "вообще" не бывает, а ни привязать его к точке, ни получить векторное поле тут нельзя. В плоском пространстве есть вектор "вообще", и все прокатывает.
И формулы можно не писать ))

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #684131 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #684080 писал(а):

Да, но только в той системе отсчёта, в которой трёхмерное пространство евклидово.

Нет, не "трёхмерное пространство евклидово", а Вселенная неподвижна. Трёхмерное пространство в моделях Фридмана-Леметра может быть неевклидовым.

Просто в однородном пространстве всё равно нельзя. Вон сфера однородная, а векторы на ней в разных точках не сложишь. Можно только в Евклидовом. Кстати, фраза "Вселенная неподвижна" как-то странно звучит.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #684149 писал(а):

Просто в однородном пространстве всё равно нельзя.

Можно.

SergeyGubanov в сообщении #684149 писал(а):

Вон сфера однородная, а векторы на ней в разных точках не сложишь.

На сфере векторы можно переносить по дуге большого круга. Not best, но что есть...

Sh18 в сообщении #684139 писал(а):

И второе: интеграл всегда дает скаляр.

Это главное. Дальше надо смотреть на подпространство, по которому интегрируют, и выбирать интегрируемую величину соответствующей размерности. Для линии - 1-форму, для поверхности - 2-форму, для коразмерности 1 - форму коразмерности 1. Чтобы сделать из тензора величину нужной размерности, нужно дополнительно ввести несколько векторных полей, и добавить их к тензорным индексам, или свернуть с лишними. Это всё есть по той ссылке, которую я давал.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #684368 писал(а):

На сфере векторы можно переносить по дуге большого круга. Not best, но что есть...

В этом нет физсмысла - такие переносы некоммутативны (векторные поля Киллинга на сфере есть, но они не коммутируют друг с другом).

Возьмём в качестве сферы "Землю". Есть два вектора одинаковой длины на экваторе, один в точке в западном полушарии, другой в точке в восточном (точки друг к другу в надире), направлены векторы вдоль вращения Земли. Переносим эти два вектора вдоль экватора в одну точку и складываем получаем вектор в два раза длинее. А если сначала перенести их на Северный полюс, то получится вектор нулевой длины.

[Утундрий]

SergeyGubanov
Кстати, раз уж заговорили о "физсмысле" (не к ночи будь помянут), то что ежели в post683874.html#p683874 провернуть произвольно репер по-своему в кажной точке? Физсмыслу сие, вестимо, повредить не могёт, а вот формУле?

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #684969 писал(а):

В этом нет физсмысла - такие переносы некоммутативны (векторные поля Киллинга на сфере есть, но они не коммутируют друг с другом).

Представьте себе сферу, закреплённую в пространстве своим центром. И пусть векторное поле образует силы, действующие на поверхность сферы. Тогда по области сферы можно проинтегрировать момент этих сил. Понятен "физсмысл"?

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #684986 писал(а):

SergeyGubanov
Кстати, раз уж заговорили о "физсмысле" (не к ночи будь помянут), то что ежели в post683874.html#p683874 провернуть произвольно репер по-своему в кажной точке? Физсмыслу сие, вестимо, повредить не могёт, а вот формУле?

Импульс зависит от системы отсчёта. Локальный поворот репера это изменение системы отсчёта. Интеграл от проекции тензора на репер конечно зависит от выбора репера. Прежде чем брать такие интегралы фиксируется система отсчёта. Смысл той формулы был в избавлении от системы координат. Ответ от системы отсчёта зависит, а от системы координат не зависит.

-- 18.02.2013, 00:10 --

Munin в сообщении #685094 писал(а):

Представьте себе сферу, закреплённую в пространстве своим центром. И пусть векторное поле образует силы, действующие на поверхность сферы. Тогда по области сферы можно проинтегрировать момент этих сил. Понятен "физсмысл"?

То что вы описали можно сделать для любого Риманова пространства, не только для сферы (как раз по формуле из post683874.html#p683874). Спор же был об однозначном переносе вектора из одной точки в другую. Кстати, это возможно не только в Евклидовом пространстве (как я говорил раньше), а ещё и на торе. Правда тор не является однородным пространством, так что физсмысл этого действия не очень понятен.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #685134 писал(а):

То что вы описали можно сделать для любого Риманова пространства, не только для сферы

Вот только у сферы есть выделенная точка - центр. А у любого пространства - нету. В этом и разница, о которой я вам говорю.

SergeyGubanov в сообщении #685134 писал(а):

Спор же был об однозначном переносе вектора из одной точки в другую.

Нет, о нём - не было. Речь шла об усреднении скоростей, то бишь об интегрировании. Перенос на сфере тоже однозначен (я писал выше), но это другое.

[myhand]

SergeyGubanov в сообщении #685134 писал(а):

Кстати, это возможно не только в Евклидовом пространстве (как я говорил раньше), а ещё и на торе.

Это плоское пространство, так что не удивительно. Топология тут дело не портит.

Munin в сообщении #685138 писал(а):

Перенос на сфере тоже однозначен (я писал выше), но это другое.

Это вот эту чушь вы писали:

Munin в сообщении #684038 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #683874 писал(а):

Следует уточнить, что такой закон сложения импульсов имеет место лишь в Евклидовом пространстве. В искривлённом пространстве складывать векторы в разных точках нельзя.

Строго говоря, в общем случае да, но поскольку Вселенная по стандартной космологической модели однородна, всё-таки можно.

Ваш оппонент абсолютно прав (такое осмысленно только в координатах, где пространство плоское), а вы продолжаете упираться в совершенно безграмотном утверждении. Перенос (в данном случае в трехмерном пространстве) - будет хорошо определенной процедурой только в плоском пространстве. Иначе он будет зависеть от кривой, по которой вы его осуществляете. Не верите? Тогда возьмите карандашик и честно посчитайте обнос вектора по треугольнику на сфере (подобная задачка есть в любом учебнике по дифференциальной геометрии). Хотите ответ?

PS: Как решите задачку про треугольник - вспомните определение тензора Римана. ЛЛ2 очень хорошим образом его вводят, именно через обнос вектора вокруг бесконечно малого контура.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #685138 писал(а):

Вот только у сферы есть выделенная точка - центр. А у любого пространства - нету. В этом и разница, о которой я вам говорю.

На сфере нет выделенной точки, сфера - однородное пространство. Точка, о которой вы говорите, сфере не принадлежит.

Munin в сообщении #685138 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #685134 писал(а):

Спор же был об однозначном переносе вектора из одной точки в другую.

Нет, о нём - не было. Речь шла об усреднении скоростей, то бишь об интегрировании. Перенос на сфере тоже однозначен (я писал выше), но это другое.

Интегрировать (по формуле post683874.html#p683874) можно в любом пространстве, а спор был про перенос вектора.

(Оффтоп)

сейчас долго писал много букв про треугольник на сфере, но перед отправкой сообщения увидел, что myhand меня уже опередил

[alker]

zask в сообщении #683027 писал(а):

Если описать сферу вокруг Земли, например, то как будет меняться импульс вещества внутри сферы с ростом её радиуса?

О каком импульсе ведется речь: о гравитационном, инерционном, электромагнитном?

[Someone]

SergeyGubanov в сообщении #685134 писал(а):

тор не является однородным пространством

???