Помогите доказать предел

[Math_noob]

Как доказать не используя производную, что:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{2^n}=0$

[ex-math]

Достаточно ограниченности $n/2^{n/2}$, которую можно доказать по индукции.

[Math_noob]

ex-math в сообщении #683817 писал(а):

Достаточно ограниченности $n/2^{n/2}$, которую можно доказать по индукции.

Значит при n=1 мы получим $x_1=\frac 12$ при n=2 $x_2=\frac12$ при n=3 $x_3=\frac38$ и мы предполагаем что при $n\geq3$ любое $x_n<\frac12$ и при этом $x_n>x_{n+1}$ ?

[_hum_]

Может, проще отталкиваться от того, что

$$x_{n+1} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{2}\,x_{n}.$$

[Whitaker]

Math_noob
Можно сделать еще так:

$$2^n=(1+1)^n=1+C_n^1+C_n^2+\dots+C_n^{n-1}+C_n^{n}>1+C_n^1+C_n^2=1+n+\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n^2+n+2}{2}$$

Очевидно, что для любого $n\in \mathbb{N}$ имеем $\dfrac{n}{2^n}>0$
В итоге получаем, что:

$$0<\dfrac{n}{2^n}<\dfrac{2}{n+1}$$

По принципу милиционеров получаем, что $\lim \limits_{n\to \infty}\frac{n}{2^n}=0$

[Math_noob]

Огромное спасибо, что помогли разобраться