Компактность дискретного множества

[Mesaki]

Помогите разобраться. Вот знаю два определения компактности.
1) Множество К компактно, если каждая бесконечная последовательность точек в К имеет подпоследовательность, сходящуюся к точке, которая принадлежит К.
2) Множество К называется компактным, если всякое покрытие этого пр-ва открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.

Вроде бы 2 определения понятны, но вот с дискретным метрическим пространством разобратсья не могу. Вот нужно установить компактность конечного дискретного метрического пространства и бесконенчого.

1) конечное дискретное пространство.
Вот судя второму определению вроде бы понятно, что в любом его покрытие найдетсяконенчое подпокрытие. Но вот с пределами непонятно. Почему это любая бесконечная последовательность последовательность точек в этом пространстве имеет подпоследовательность, которая сходится к точке, принадлежащей моему пространству.

2) бесконечное дискретное пространство.
по 2-ому определению понмиаю, что множество не компактно, так как открытое покрытие одноточечными мн-вами не имеет коненчого покрытия. Но связать с пределами не могу.

[Someone]

Mesaki в сообщении #683447 писал(а):

1) конечное дискретное пространство.
Вот судя второму определению вроде бы понятно, что в любом его покрытие найдетсяконенчое подпокрытие. Но вот с пределами непонятно. Почему это любая бесконечная последовательность последовательность точек в этом пространстве имеет подпоследовательность, которая сходится к точке, принадлежащей моему пространству.

Покажите. что любая бесконечная последовательность имеет бесконечную постоянную подпоследовательность.

Mesaki в сообщении #683447 писал(а):

2) бесконечное дискретное пространство.
по 2-ому определению понмиаю, что множество не компактно, так как открытое покрытие одноточечными мн-вами не имеет коненчого покрытия. Но связать с пределами не могу.

Рассмотрите бесконечную последовательность с попарно различными членами.

[Mesaki]

Someone в сообщении #683484 писал(а):

Mesaki в сообщении #683447 писал(а):

1) конечное дискретное пространство.
Вот судя второму определению вроде бы понятно, что в любом его покрытие найдетсяконенчое подпокрытие. Но вот с пределами непонятно. Почему это любая бесконечная последовательность последовательность точек в этом пространстве имеет подпоследовательность, которая сходится к точке, принадлежащей моему пространству.

Покажите. что любая бесконечная последовательность имеет бесконечную постоянную подпоследовательность.

Mesaki в сообщении #683447 писал(а):

2) бесконечное дискретное пространство.
по 2-ому определению понмиаю, что множество не компактно, так как открытое покрытие одноточечными мн-вами не имеет коненчого покрытия. Но связать с пределами не могу.

Рассмотрите бесконечную последовательность с попарно различными членами.

с 1-ым вроде бы стало понятнее, но вот со 2-ым все равно трудности. Я не понял, зачем аткое делать? Что это вообще будет за последовательность? Просто последователньость, где все элементы неравные? Получается, что не сможем выделить сходящуюся подпоследовательность?

[AGu]

Mesaki в сообщении #683525 писал(а):

Просто последователньость, где все элементы неравные?

Да.

Mesaki в сообщении #683525 писал(а):

Получается, что не сможем выделить сходящуюся подпоследовательность?

Да.