2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Помогите доказать неравенства
Сообщение12.02.2013, 06:49 


30/01/13
3
как доказать, что $|\sigma(x)|=|\int_0^x\rho(u)du|\le 1/8$

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенства
Сообщение12.02.2013, 09:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Один студент © в раннем детстве (в начале первого курса) потерялся в джунглях факультета и его воспитала какая-то дикая научная группа. Через несколько лет он вышел к нормальным людям и сказал:
- pʊ́l̪l̩̪̀ ʊˈɪ́qɪ̀ʃx ˈmáʔwàɫ̪ɡ ɛʁjaʊ̯fɤˈn̪ɪ́ɛ́n̪ ˈpǽθwɯ̀ç aʊ̯ˈxɤ́ʔjàɬt xn̪ɛʔwiɬˈtáʔʂʊ̀ɪ̯ ˈt̪ʊ́à kɪ̂t̪ œl̪ˈːâ jaˈqázmʊ̀ɪ̯v l̪ɪʔjɯɾˈzɪ́ʂkàʔ pʼamˈm̩̂ aɪl̪ɔʔˈwɤ́tʃːà ʃʊʔˈjɛ́ɸt̪àʂ?
Люди в недоумении переглянулись.

-- Вт, 2013-02-12, 10:40 --

Думаете, всем понятно, что Вы обозначили буковкой $\sigma$? или $\rho$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Помогите доказать неравенства
Сообщение12.02.2013, 10:35 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Shamsullo1978
Если я не ошибаюсь, то у Вас тут $\rho(x)=\dfrac{1}{2}-\{x\}$ (дробная доля)
Для начала Вам нужно нарисовать график функции $\rho(x)=\dfrac{1}{2}-\{x\},$ а оттуда уже все будет очевидно.
Взгляните внимательно на график и нетрудно проверить, что если $x\in \mathbb{N},$ то $|\sigma(x)|=\left| \int\limits_{0}^{x}\rho(u)du \right|=0$
Если же $x\in \mathbb{R_{+}}\backslash \mathbb{N},$ тогда $$|\sigma(x)|=\left| \int\limits_{0}^{x}\rho(u)du \right|=\left| \int\limits_{0}^{[x]}\rho(u)du \right+\int\limits_{[x]}^{x}\rho(u)du\right|=\left| \int\limits_{[x]}^{x}\rho(u)du\right|=\left| \int\limits_{0}^{x-[x]}\rho(u)du\right|$$ Обозначая $x-[x]=y$ и $y\in(0,1)$
Получаем, что: $$|I(y)|=\left| \int\limits_{0}^{y}\rho(u)du \right|$$ Если $y\in(0, 1/2)$, то интеграл будет равен площади трапеции и ее площадь меньше площади прямоугольного треугольника со сторонами $1/2$ и $1/2$. Значит, $|I(y)|<\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
Случай $y\in(1/2, 1)$ аналогично рассуждается.
При $y=\frac{1}{2}$ достигается равенство, а именно $|I(y)|=\frac{1}{8}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group