Интерференция при немонохроматическом свете

[BasilKrzh]

Привет!
Читаю книгу "Физическая оптика" С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин. При обсуждении интерференции рассматривается узкополосный источник ($\Delta\omega \ll \omega$), и приводятся следующие рассуждения:
Целесообразно ввести комплексную амплитуду поля $\mathcal{E}(t)$, определив ее формулой $E(t) = \frac{1}{2}\mathcal{E}(t)e^{i\omega_{0}t} + c.c.$ (где $c.c.$- complex conjugate (комплексно сопряженное) к предыдущему слагаемому). Подобно полю $E(t)$ амплитуда $\mathcal{E}(t)$ является случайной функцией времени и, следовательно, характеризуется корреляционной функцией и спектром. Подставив в $\mathcal{B}(\tau)=\langle E(t)E(t+\tau)\rangle$ (где $\langle...\rangle$ обозначает среднее значение), и учитывая стационарность случайного процесса $E(t)$, приходим к требованию (???) $\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle = 0$. Поэтому корреляционная функция комплексной амплитуды вводится формулой $b(\tau)=\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}^{*}(t+\tau)\rangle$ (где $\mathcal{E}^{*}$ обозначает комплексное сопряжение к $\mathcal{E}$). Будем считать (???) величину $b(t)$ вещественной. Тогда $\mathcal{B}(\tau)=\langle E(t)E(t+\tau)\rangle=\frac{1}{2}b(\tau)\cos(w_{0}\tau)$
В связи с этим отрывком есть вопросы:
1) Почему мы "приходим к требованию $\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle = 0$"? Это нужно понимать, что амплитуда $\mathcal{E}(t)$ - медленно меняющаяся функция $t$ и значит принимается $\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_{0}(2t+\tau)}\rangle \approx \langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle \langle e^{i\omega_{0}(2t+\tau)}\rangle = \langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle0= 0$?
2) С какой такой стати "будем считать величину $b(t)$ вещественной"? Насколько, на Ваш взгляд, это условие существенно?

Спасибо)

[Munin]

Какое место Ахманова-Никитина? Укажите с точностью до параграфа или страницы, там должно быть что-то перед этим сказано о букве $\tau$ и о функции $\mathcal{B}(\tau).$
Тут явно какой-то фокус с комплексностью величины $\mathcal{E}(t),$ если добавление звёздочки меняет нуль на не-нуль.

[BasilKrzh]

Книга "Физическая оптика" С.А. Ахманов, С.Ю. Никитин., 2-е издание (2004, Классический университетский учебник), Часть 3 ("Интерференция, дифракция, когерентность"), лекция 11, раздел "Интерференция случайной световой волны", стр. 318 (2-я страница раздела), формулы (11.35) - (11.39). Может я что-то упустил, но, насколько я понимаю, $\mathcal{B}(\tau)$-корреляционная функция (для стационарного случайного процесса $E(t)$). Про фокус и замену нуль на не-нуль не понял, про какое место Вы говорите?

[Munin]

Сравните (в вашей цитате):
$\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle=0$
$\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}^*(t+\tau)\rangle=b(\tau)$
я об этом.

[BasilKrzh]

Да, теперь понял о чём Вы. Поскольку для меня пока всё это как-то не очевидно, я предположил, что имелось ввиду несколько другое, а именно, что

BasilKrzh в сообщении #682353 писал(а):

это нужно понимать, что амплитуда $\mathcal{E}(t)$ - медленно меняющаяся функция и значит принимается $\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_{0}(2t+\tau)}\rangle \approx \langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle \langle e^{i\omega_{0}\tau}\rangle = \langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle0= 0$

, поскольку именно такое среднее участвует при вычислении корреляции $\mathcal{B}(\tau)=\langle E(t)E(t+\tau)\rangle$ (хотя совсем не уверен, что именно это имелось ввиду). Тогда другая часть будет иметь вид $\langle\mathcal{E}^{*}(t)\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_{0}\tau}\rangle+c.c. = \langle\mathcal{E}^{*}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle e^{i\omega_{0}\tau} +c.c. = b(\tau) e^{i\omega_{0}\tau}+c.c.$ Но при таких рассуждениях всё равно не ясно, почему можно принять $b(\tau)=b^{*}(\tau)$, что необходимо для получения $\mathcal{B}(\tau) = \frac{1}{4} (b(\tau) e^{i\omega_{0}\tau}+ b^{*}(\tau) e^{-i\omega_{0}\tau}) = [ b(\tau)=b^{*}(\tau)] = \frac{1}{4} (b(\tau) e^{i\omega_{0}\tau}+ b(\tau) e^{-i\omega_{0}\tau})=\frac{1}{4} b(\tau)(e^{i\omega_{0}\tau}+ e^{-i\omega_{0}})=\frac{1}{2} b(\tau)\cos (\omega_{0}\tau)$ (формула 11.39 учебника)

[Munin]

Итак, $E(t)$ - случайный процесс, $B(\tau)=\langleE(t)E(t+\tau)\rangle$ - его корреляционная функция, $\tau$ - параметр этой функции - расстояние, на котором вычисляется корреляция. Подставляем напрямую:
$B(\tau)=\langle E(t)E(t+\tau)\rangle=$
$=\langle(\mathcal{E}(t)e^{i\omega_0 t}+\mathcal{E}^*(t)e^{-i\omega_0 t})(\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_0(t+\tau)}+\mathcal{E}^*(t+\tau)e^{-i\omega_0(t+\tau)})\rangle=$
$=\langle(\mathcal{E}(t)e^{i\omega_0 t}+\mathcal{E}^*(t)e^{-i\omega_0 t})(\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_0t}e^{i\omega_0\tau}+\mathcal{E}^*(t+\tau)e^{-i\omega_0t}e^{-i\omega_0\tau})\rangle=$
$=\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)e^{2i\omega_0 t}e^{i\omega_0\tau}\rangle+\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}^*(t+\tau)e^{-i\omega_0\tau}\rangle+$
$+\langle\mathcal{E}^*(t)\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_0\tau}\rangle+\langle\mathcal{E}^*(t)\mathcal{E}^*(t+\tau)e^{-2i\omega_0 t}e^{-i\omega_0\tau}\rangle=$
$=\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_0\tau}\rangle\langle e^{2i\omega_0 t}\rangle+\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}^*(t+\tau)e^{-i\omega_0\tau}\rangle+\text{к.с.}$
Первое слагаемое (и его к.с.) обращаются в нуль, поскольку $\langle e^{2i\omega_0 t}\rangle=0,$ но почему множитель при нём нуль - неизвестно. Возможно, в учебнике что-то коряво сформулировано... Жаль, я думал о нём хорошо.

-- 12.02.2013 01:41:41 --

Вещественность, как я понимаю, тоже проистекает из того, что в оставшихся слагаемых комплексное число складывается со своим к.с.

[BasilKrzh]

Ну да, я как-то так и написал, $4\mathcall{B}(\tau)=\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}(t+\tau)e^{i\omega_0\tau}\rangle\langle e^{2i\omega_0 t}\rangle+\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}^*(t+\tau)e^{-i\omega_0\tau}\rangle+\text{к.с.} =$ $\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}^{*}(t+\tau)\rangle e^{-i\omega_0\tau}+\text{к.с.} = $ $\langle\mathcal{E}(t)\mathcal{E}^{*}(t+\tau)\rangle e^{-i\omega_0\tau}+\langle\mathcal{E}^{*}(t)\mathcal{E}(t+\tau)\rangle e^{i\omega_0\tau}=$$b(\tau)e^{-i\omega_0\tau}+b^{*}(\tau)e^{i\omega_0\tau}$. Извесно, что $\mathcall{B}(\tau)\in\mathbb{R}$, однако, мне совершенно не понятно, на каком основании постулируется(?), что $b(\tau)\in\mathbb{R}$, т.е. $b(\tau)=b^{*}(\tau)$

[Munin]

Ну, можно просто подобрать такую действительную $b(\tau),$ чтобы от неё нужная сумма давала то, что нужно для $B(\tau).$ Решая как раз это уравнение относительно $b(\tau),$ считая $B(\tau)$ известной.

[BasilKrzh]

Всё-таки нормально разобраться смог только по Борну и Вольфу (классика ), залезая в Титчмарш Э.Ч. Введение в теорию интегралов Фурье. Там всё аккуратно по этому вопросу. Большое спасибо Munin-у, что откликнулся (на форуме же нет кнопочки спасибо/рейтинг?).