Евклидово кольцо

[apriv]

Mathusic в сообщении #682321 писал(а):

А с этим как быть?
$2x=(x-1)\cdot 1 + (x+1) = (x-1) \cdot 2 + 2$

И что не так?

[Mathusic]

apriv в сообщении #682342 писал(а):

И что не так?

Свойство деления с остатком не выполняется.

[apriv]

Я не понял, что Вы называете «свойством деления с остатком». Ежели единственность, то она и в целых числах не выполняется: $5=1\cdot 3+2=2\cdot3 +(-1)$. Но никакой единственности в определении евклидового кольца, конечно же, нет.

[Mathusic]

apriv в сообщении #682402 писал(а):

Ежели единственность

Действительно, не требуется.
И "монотонность" -- тоже дополнительное условие.

[apriv]

Вообще, на любом евклидовом кольце существует единственная наименьшая евклидова норма; она монотонна и инвариантна относительно автоморфизмов. Но единственности деления с остатком даже для нее может не быть: на кольце целых чисел не существует евклидовой нормы со свойством единственности.

[Mathusic]

AV_77 в сообщении #682151 писал(а):

xmaister в сообщении #682148 писал(а):

apriv
Так это же не норма. $N(fg)\ne N(f)N(g)$.

А этого от нормы не требуется. Должно выполняться неравенство $N(gf) \geq N(f)$.

Это, кстати, не выполняется для нормы, которую привел apriv

-- Пн фев 11, 2013 19:24:29 --

(Оффтоп)

apriv в сообщении #682521 писал(а):

Вообще, на любом евклидовом кольце существует единственная наименьшая евклидова норма; она монотонна и инвариантна относительно автоморфизмов. Но единственности деления с остатком даже для нее может не быть: на кольце целых чисел не существует евклидовой нормы со свойством единственности.

Вообще интересно -- вы, помнится, были за то, что кольцо должно быть с единицей, а за норму евклидову вот такую наиболее общую выступаете

[AV_77]

Mathusic в сообщении #682536 писал(а):

Это, кстати, не выполняется для нормы, которую привел apriv

Действительно не выполняется.

[apriv]

(Оффтоп)

Mathusic в сообщении #682536 писал(а):

Вообще интересно -- вы, помнится, были за то, что кольцо должно быть с единицей, а за норму евклидову вот такую наиболее общую выступаете

А как одно с другим связано? Проще ввести хоть какую-нибудь норму, поэтому требовать от нее нужно как можно меньше — лишь бы алгоритм Евклида работал. А уж потом из этого (если нужно) следует, что есть и хорошая норма, минимальная. На самом деле, более естественным является еще более слабое понятие квази-евклидового кольца, которое по свойствам во многом не хуже евклидового.

[Mathusic]

apriv в сообщении #682550 писал(а):

квази-евклидового кольца

А определение можно услышать?

[apriv]

Область целостности $R$ называется квази-евклидовой, если существует функция $N\colon R\times R\to\mathbb{N}$ такая, что для любых $x,y\in R$, $y\neq 0$ существуют $q,r\in R$ такие, что $x=qy+r$ и $N(y,r)<N(x,y)$.

[xmaister]

xmaister в сообщении #681822 писал(а):

Сообразил вроде! Пусть $\varphi\in\mathrm{Aut}(A[x])$ и пусть $\mathrm{deg}(f)<\mathrm{deg}(\varphi(f))$ для некоторого $f\in A[x]$. Тогда имеем индуцированный изоморфизм $\varphi^*:A[x]/(f)\cong A[x]/(\varphi(f))$. Всякий элемент $\varphi^*:A[x]/(f)$ представим в виде $a_0+\ldots +a_{n-1}x^{n-1}+(f)$, где $n=\mathrm{deg}f$, тогда для всех $g=a_0+\ldots +a_n\varphi(x)^n+(\varphi(f))\in A[x]/(\varphi(f))$. Значит $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}\varphi(f)$, тогда $x=\varphi(qx+r)$, откуда $x\mapsto ax+b,a\in A^{\times}$. Я не могу понять, почему на многочленах нулевой степени всякий автоморфизм действует как тождественный? Чем плохо $a_0+\ldots +a_nx^n\mapsto g(a_0)+\ldots g(a_n)x^n$, где $g\in\mathrm{Aut}(A)$?

Это не верно. Может быть, что старший коэффициент при $f$ не обратим и тогда не имеем возможности поделить с остатком. Если $\varphi\in\mathrm{Aut}(A)$, то он может быть продолжен до автоморфизма $\psi\in\mathrm{Aut}((A\setminus\{0\})^{-1}A)[x]$ кольца многочленов над полем частных $A$. Тогда, если $\mathrm{deg}(f)<\mathrm{deg}(\varphi (f))$, где $f$- неприводим, то будут изоморфны поля $K$ и $L$, такие что $\mathrm{deg}(K/((A\setminus\{0\})^{-1}A)[x])<\mathrm{deg}(L/((A\setminus\{0\})^{-1}A)[x])$. Противоречие.

P.S. Продолжаю думать над $A/\mathfrak{a}\cong A/\mathfrak{b}\Rightarrow\exists f\in\mathrm{Aut}(A): f(\mathfrak{a})=\mathfrak{b}$, где $A$- целостное. По крайней мере не вижу причин, почему бы это могло бы быть верно. Но и пример так из общеизвестных колец что-то не могу отыскать.

[AV_77]

xmaister в сообщении #682654 писал(а):

Но и пример так из общеизвестных колец что-то не могу отыскать.

Рассмотрите кольцо $\mathbb{F}_q[x]$, где $\mathbb{F}_q$ - простое поле. Если $f, g$ - неприводимые многочлены одной степени, то $\mathbb{F}_q[x] / (f) \simeq \mathbb{F}_q[x] / (g)$. При этом неприводимых многочленов степени $n$ больше чем автоморфизмов у $\mathbb{F}_q[x]$.

[xmaister]

apriv в сообщении #682059 писал(а):

Вот минимальная евклидова норма, действительно, будет инвариантной относительно автоморфизмов.

Да, тут разобрался. $N'(a)=N(\varphi (a)),\varphi\in\mathrm{Aut}(R)$ также будет нормой. А можно ли попытаться найти все нормы, инвариантные относительно автоморфизмов? Т.е. интересует что достаточно для нормы, чтобы она была инвариантной относительно автомофризма.