Всегда ли разрешимы уравнения движения света в пустоте

[piksel]

Движение материальной частицы в ОТО описывается уравнениями геодезической линии. Эти четыре уравнения содержат содержат пять неизвестных: 4-скорости и путь s и разрешимы относительно скоростей по теореме Коши. Поскольку s входит во все их члены во 2й степени, то 4-скорости определяются из них с точностью до постоянного коэффициента, который находится из уравнения времени-подобной геодезической
1=g_{ij}u^iu^j.
Движение света описывается уравнениями нулевой геодезической или уравнениями, получаемыми из принципа экстремальной энергии без нарушения изотропности пути фотона: Belayev W.B. IJTMP V.2, N.2 (2012) 10-15 http://article.sapub.org/10.5923.j.ijtmp.20120202.03.html (см. также http://ummaspl.narod.ru/varedshift.doc) который для стационарных метрик дает решение, тождественное принципу Ферма V. Perlik, Gravitational Lensing from a Spacetime Perspective. http://relativity.livingreviews.org/open?pubNo=lrr-2004-9&page=articlesu15.html
Хотя первые два метода не для всех метрик дают одинаковые решения (третий метод является частным случаем второго), но в обоих случаях входяший в уравнения вместо пути аффинный параметр не может быть однозначно определен из условия изотропности кривой
0=g_{ij}u^iu^j,
и вместе с этим уравнением четыре уравнения движения оказываются переопределенными относительно 4-скоростей. Поэтому не всегда имеют решения. Я, например, не втречал решение уравнений нулевой геодезической для метрики Фридмана с ненулевой кривизной для нерадиального движения. Нельзя сказать, что это направление совсем осталось без внимания. У Э. Шмуцера в Точных решениях уравнений Эйнштейна на с. 287 приведены теоремы, устанавливающие ограничения для тензора энергии-импульса, при которых изотропный вектор является геодезическим для некоторого класса метрик.
В других пространствах на свет очевидно действует сила, отклоняющая его от экстремальной кривой в пустоте.

[Someone]

piksel в сообщении #682442 писал(а):

первые два метода не для всех метрик дают одинаковые решения

Примерчик предъявите, пожалуйста. Подробно. Чтобы начальные условия были одинаковые, а геодезические - разные.

piksel в сообщении #682442 писал(а):

вместе с этим уравнением четыре уравнения движения оказываются переопределенными относительно 4-скоростей

Может быть, Вам покажется очень странным, но не являются они переопределёнными. В любом случае, предъявите пример. Подробно.

piksel в сообщении #682442 писал(а):

Я, например, не втречал решение уравнений нулевой геодезической для метрики Фридмана с ненулевой кривизной для нерадиального движения.

Тихий ужас. В метрике Фридмана пространство однородное. Сдвиньте начало координат в ту точку, из которой Вы хотите посветить фонариком, и движение волшебным образом окажется радиальным.

[piksel]

Someone в сообщении #682464 писал(а):

piksel в сообщении #682442 писал(а):

первые два метода не для всех метрик дают одинаковые решения

Примерчик предъявите, пожалуйста. Подробно. Чтобы начальные условия были одинаковые, а геодезические - разные.

Пожалуйста, обобщенная метрика Гёделя http://ummaspl.narod.ru/EnQeodGodel.doc. Геодезическая определяются как кривая, ковариантная производная (4-скорости) вдоль которой равна 0. В случае принципа вариации энергии (принципа Ферма в частном случае) при несовпадении с изотропной геодезической, это выполняться не будет, и поэтому такая кривая является геодезической. В случае метрики Гёделя это можно проверить прямой подстановкой решения в уравнения геодезических.

Someone в сообщении #682464 писал(а):

piksel в сообщении #682442 писал(а):

вместе с этим уравнением четыре уравнения движения оказываются переопределенными относительно 4-скоростей

Может быть, Вам покажется очень странным, но не являются они переопределёнными. В любом случае, предъявите пример. Подробно.

Если система из 5ти уравнений содержит 4 неизвестных, то она по определению не является переопределенной только в том случае, если уравнения, входящие в нее, являются зависимыми. Но есть ли доказательство того, что система уравнений, объединяющая, уравнения геодезических и уравнение условия изотропности кривой, всегда является зависимой? Обратный пример постараюсь привести позже, если буду располагать таковым.

[Someone]

Я же просил подробно. Со всеми вычислениями.

Кстати:

piksel в сообщении #682442 писал(а):

1=g_{ij}u^iu^j

[math]1=g_{ij}u^iu^j[/math]

Вы неправильно пишете формулы. Каждая формула должна быть окружена парой долларов:

$1=g_{ij}u^iu^j$

что даёт $1=g_{ij}u^iu^j$. Выносные формулы - двойной парой долларов.

[piksel]

Несколько упростим задачу, рассмотрим собственно метрику Гёделя. 4-скорости методом вариации энергии получены для нее в цитируемой статье, там и промежуточные вычисления, а символы Кристоффеля для уравнений геодезических, я думаю, Вы получить сможете. Доказательство различия решений здесь: http://ummaspl.narod.ru/EnGeGodel.doc .

[Someone]

А откуда известно, что этот самый метод вариации энергии даёт правильные уравнения?

[piksel]

Someone в сообщении #682728 писал(а):

А откуда известно, что этот самый метод вариации энергии даёт правильные уравнения?

При получении уравнений таким методом не нарушается изотропность светового пути, в отличие от получения уравнений изотропной геодезической с помощью вариации интервала. Но какие из уравнений движения светового луча соответствуют физической реальности, те, которые получены из принципа геодезических или из принципа вариации энергии, можно определить только экспериментальным путем. Если удастся с достаточной точностью экспериментально доказать, что при некоторых физических условиях движение материальной частицы соответствует метрическому пространству, для которого эти методы дают не совпадающие результаты, то экспериментальное определение траектории движения света в тех же физических условиях позволит сделать выбор в пользу того или другого из них.

[myhand]

piksel в сообщении #682442 писал(а):

который находится из уравнения времени-подобной геодезической
1=g_{ij}u^iu^j.

Это не уравнение времени-подобной геодезической (посмотрите его, к примеру, в википедии). Это дополнительное тождество, которому удовлетворяет времениподобное решение уравнений геодезической линии в определенной параметризации. Интеграл движения, иными словами.

piksel в сообщении #682442 писал(а):

Хотя первые два метода не для всех метрик дают одинаковые решения (третий метод является частным случаем второго), но в обоих случаях входяший в уравнения вместо пути аффинный параметр не может быть однозначно определен из условия изотропности кривой
0=g_{ij}u^iu^j,

1) соответственно, это также не является "уравнением нулевой геодезической".
2) Как и для времениподобных геодезических - это просто интеграл уравнений движения. В общем случае - у вас есть три варианта: скалярное произведение скоростей вдоль геодезической равно (в подходящих координатах) 1 или -1, либо равно 0 (выбор параметризации в этом случае уже роли не играет).

Никакой переопределенной системы у вас нет. Решения уравнений, конечно, не всегда существуют / продолжаются - но с "переопределением" это никак не связано.

piksel в сообщении #682442 писал(а):

В других пространствах на свет очевидно действует сила, отклоняющая его от экстремальной кривой в пустоте.

Нет. Очевидно, что вы мало еще почитали учебники...

[piksel]

myhand в сообщении #682946 писал(а):

piksel в сообщении #682442 писал(а):

который находится из уравнения времени-подобной геодезической
1=g_{ij}u^iu^j.

Это не уравнение времени-подобной геодезической (посмотрите его, к примеру, в википедии). Это дополнительное тождество, которому удовлетворяет времениподобное решение уравнений геодезической линии в определенной параметризации. Интеграл движения, иными словами.

Здесь просто описка. Вместо слова "времени-подобной геодезической" следует читать "времени-подобного пути"

myhand в сообщении #682946 писал(а):

Никакой переопределенной системы у вас нет. Решения уравнений, конечно, не всегда существуют / продолжаются - но с "переопределением" это никак не связано.

А что вы понимаете под переопределенной системой? И как быть, если решения не существует? Это же не означает, что свет не будет двигаться такой области. Можете ли вы привести такой пример?

[myhand]

piksel в сообщении #682949 писал(а):

Здесь просто описка. Вместо слова "времени-подобной геодезической" следует читать "времени-подобного пути"

Не вижу никакой принципиальной разницы. Разумнее не стало.

piksel в сообщении #682949 писал(а):

А что вы понимаете под переопределенной системой?

Число независимых уравнений больше числа неизвестных.

piksel в сообщении #682949 писал(а):

Это же не означает, что свет не будет двигаться такой области.

Это может означать, что пространство в вашей геометрии - не имеет никакого отношения к физике.

piksel в сообщении #682949 писал(а):

Можете ли вы привести такой пример?

Нарушение теорем существования решений ОДУ? Смотрите соответствующий букварь.

[piksel]

myhand в сообщении #682959 писал(а):

piksel в сообщении #682949 писал(а):

А что вы понимаете под переопределенной системой?

Число независимых уравнений больше числа неизвестных.

Тут вы не правы. Чтобы построить линию, число независимых уравнений должно быть на единицу больше числа переменных. Пример:
х=1
у=2
Число переменных равно числу независимых уравнений. Но получаем точку, а не линию. Другой пример:
х=у
Уравнение одно, переменных две, имеем линию.
Соответственно, чтобы получить поверхность, число независимых уравнений должно быть на 2 меньше числа переменных.

[Joker_vD]

piksel в сообщении #682970 писал(а):

число независимых уравнений должно быть на единицу больше числа переменных.

piksel в сообщении #682970 писал(а):

число независимых уравнений должно быть на 2 меньше числа переменных.

Вы уж определитесь, а?

[piksel]

Joker_vD в сообщении #682995 писал(а):

piksel в сообщении #682970 писал(а):

число независимых уравнений должно быть на единицу больше числа переменных.

piksel в сообщении #682970 писал(а):

число независимых уравнений должно быть на 2 меньше числа переменных.

Вы уж определитесь, а?

Поскольку мы ищем мировую линию фотона, то число независимых уравнений должно быть на единицу больше числа переменных.

[myhand]

piksel в сообщении #682970 писал(а):

myhand в сообщении #682959 писал(а):

piksel в сообщении #682949 писал(а):

А что вы понимаете под переопределенной системой?

Число независимых уравнений больше числа неизвестных.

Тут вы не правы. Чтобы построить линию, число независимых уравнений должно быть на единицу больше числа переменных. Пример:
х=1
у=2

Я не вижу в этом примере дифференциальных уравнений. Вы вообще об чем, ау?! Решением системы двух независимых дифференциальных уравнений для функций $x$ и $y$ - вообще говоря и является ваша "линия" $(x(t),y(t))$, в общем случае - какая-то кривая на плоскости $(x,y)$.

Куда вы с такой кашей в уравнения геодезической полезли? Сперва матанализ, потом подучите теорию ОДУ - а уж потом приходите со второй итерацией вашего "вопроса". Если он еще остался/нется..

(Оффтоп)

И формулки - не ленитесь оформлять, пожалуйста.

[piksel]

myhand в сообщении #683029 писал(а):

piksel в сообщении #682970 писал(а):

Пример:
х=1
у=2

Я не вижу в этом примере дифференциальных уравнений. Вы вообще об чем, ау?! Решением системы двух независимых дифференциальных уравнений для функций $x$ и $y$ - вообще говоря и является ваша "линия" $(x(t),y(t))$, в общем случае - какая-то кривая на плоскости $(x,y)$.

В случае системы ОДУ после их интегрирования число независимых уравнений также как и переменных не изменится, появятся только дополнительные константы.
Вначале вы говорили о неизвестных, а теперь о функциях от параметра t. Но функции также являются неизвестными как и t. То есть решение системы из двух уравнений с 3мя неизвестными дает линию в 3мерном пространстве, которую можно спроецировать на плоскость $(x,y)$, выразив параметр через х или у.

myhand в сообщении #682959 писал(а):

piksel в сообщении #682949 писал(а):

А что вы понимаете под переопределенной системой?

Число независимых уравнений больше числа неизвестных.

В общем случае это так, но когда число независимых уравнений равно числу переменных, то то вместо линии мы получаем точку. Так будет, если 4 уравнения распространения света, содержащие вторые производные, вместе с интегралом движения образуют систему из 5ти независимых уравнений. Но возможно ли такое?