Выручайте астрофизиков будущего! :)

[Alex_J]

Помогите астрофизикам и космоинженерам будущего выбраться из непростой ситуации

...где-то в глубинах космоса, где даже гравитацией окрестных объектов можно пренебречь, на маленьком блуждающем остывшем астероиде группа ученых XXIII тысячелетия расположилась с научным оборудованием (вот занесла нелегкая!). Идет обсуждение программы дальнейших экспериментов. Наука уже улетела далеко вперёд - был создан аннигиляционный двигатель, работающий на антиматерии - самом лёгком топливе на единицу энергии - зато имеющий КПД равный единице, в общем, красота. Так что при расчетах физики могли пренебречь и массой топлива. Но производство топлива, хоть и возможно на вылете, остаётся всё ещё очень трудоёмким, требует много времени, а запасы провизии и кислорода у экспедиции не бесконечны...

По программе, с астероида стартуют два корабля одинаковой массы m. Сначала они, разогнавшись до одиной и той же скорости v, большой, но все же нерелятивистской (как и все скорости в задаче), будут лететь какое-то время в одном направлении. Затем один из кораблей увеличит скорость в 2 раза в том же направлении - будут проводиться какие-то измерения с увеличивающейся во времени интерференционной базой.

Спор возник при расчетах требуемого количества антиматерии. Одна группа ученых (которая на время экспреимента остается на астероиде) рассуждает следующим образом: вы, говорят, потратите сначала по $\frac{mv^2}{2}$ каждый, а затем скорость второго корабля будет равна 2v, а значит, второму кораблю нужен запас на разгон равный $\frac{m(2v)^2}{2}=2mv^2$.

Вторая группа, которая полетит, не может принять, что придется так долго производить такое количество антиматерии на такие энергии. Мы, утверждает эта группа, разгонимся до скорости v, зато потом будем себе лететь равномерно и прямолинейно, а один из наших кораблей, в нашей-то системе отсчета, изначально будет иметь скорость 0, а значит, чтобы затем набрать скорость v, должен будет ещё потратить всего лишь $\frac{mv^2}{2}$, то есть всего второму кораблю нужен запас не $2mv^2$, а лишь $mv^2$ !

Но первая группа обещает им большие беды, обвиняет в необразованности и все дружно делают фейспалм ( ), т.к. по всем расчетам в их системе отсчета энергии $mv^2$ хватит лишь на скорость 1.414v, вместо 2v.

Какая же группа ученых ошибается и почему?

[Munin]

Нету у реактивных двигателей такой характеристики, как КПД, а есть скорость истечения рабочего тела. Чем она больше, тем эффективность двигателя выше (но не постоянна, а зависит от конечной скорости). Наибольшая скорость истечения, достижимая как раз на антиматерии - это $c$ - фотонная ракета. Массой топлива при этом пренебречь нельзя, поскольку она равна энергии. Всё, дальше законы сохранения энергии и импульса, а если скорость меньше $c$ - то уравнение Мещерского. Я пошёл.

[schoolboy]

Alex_J в сообщении #681950 писал(а):

Какая же группа ученых ошибается и почему?

То есть ответ на конкретный вопрос: ошибаются обе группы, поскольку не учитывают кинетическую энергию выбрасываемого топлива, поэтому антивещества надо больше, чем предполагают обе группы, разумеется, ошибаются сильнее те, которые улетают с астероида.

[Alex_J]

Хорошо, хорошо.
Переформулируем весь эксперимент.
Для каких-то особенных испытаний с астероида был запущен снаряд со скоростью v, массой m. Причем это было сделано одновременно с пролетом мимо астероида большого корабля в том же направлении. Тот небольшим маневрированием "стыковался" со снарядом, поместив его (а точнее себя подогнав) на позицию выстрела, и снова сделал выстрел со скоростью v уже относительно себя, летящего со скоростью v относительно астероида, итого снаряд летит от астероида уже со скоростью 2v.
Значит, на астероиде в снаряд вогнали $\frac{mv^2}{2}$ и на корабле ещё $\frac{mv^2}{2}$. Но с астероида смотрят - а энергия-то у снаряда $2mv^2$. С т.з. сохранения, корабль должен был с собой уже "везти" $mv^2$ энергии, которые "видны" с астероида, а с корабля - не видны. Какая тут логика работает?

[schoolboy]

Alex_J в сообщении #682024 писал(а):

Какая тут логика работает?

Работает такая же логика, как и в первой задаче. Общий принцип: распределение энергии выстрела между кинетической энергией выстреленного тела и той, что идет на отдачу, зависит от системы отсчета. С точки зрения астронавтов на астероиде, при втором выстреле на снаряд пришлось $\frac{3 mv^2}{2}$, остальное на отдачу, а из системы на большом корабле на кинетическую энергию снаряда пришлось меньше - $\frac{mv^2}{2}$

[nikvic]

Munin в сообщении #681959 писал(а):

Нету у реактивных двигателей такой характеристики, как КПД, а есть скорость истечения рабочего тела.

Тем не менее технари этот КПД с успехом вводят и используют - как отношение полуквадрата этой скорости к "теплотворной способности" топлива (до около 70%).
И несколько сложнее для "самолётных" двигателей.

[Munin]

nikvic в сообщении #682063 писал(а):

Тем не менее технари этот КПД с успехом вводят и используют - как отношение полуквадрата этой скорости к "теплотворной способности" топлива (до около 70%).

В общем, можно такой величиной пользоваться. Вот только она не позволяет напрямую переводить энергию топлива в кинетическую энергию ракеты. Уравнение Мещерского никуда не денется.

[protest]

Alex_J в сообщении #682024 писал(а):

итого снаряд летит от астероида уже со скоростью 2v.

[Alex_J]

Alex_J в сообщении #681950 писал(а):

нерелятивистской (как и все скорости в задаче)

[protest]

Физический мир не делится на релятивистский и нерелятивистский. Он не знает о нашем делении.

[DimaM]

Alex_J в сообщении #682024 писал(а):

Значит, на астероиде в снаряд вогнали $\frac{mv^2}{2}$ и на корабле ещё $\frac{mv^2}{2}$. Но с астероида смотрят - а энергия-то у снаряда $2mv^2$. С т.з. сохранения, корабль должен был с собой уже "везти" $mv^2$ энергии, которые "видны" с астероида, а с корабля - не видны. Какая тут логика работает?

При взгляде с астероида надо бы еще учесть изменение кинетической энергии корабля, которое отрицательно.

Подробно разобрано в книжке для продвинутых школьников: Бутиков, Быков, Кондратьев "Физика в примерах и задачах" (например, здесь).

[Munin]

protest в сообщении #682343 писал(а):

Физический мир не делится на релятивистский и нерелятивистский. Он не знает о нашем делении.

Вполне делится. Он не знает о нашем делении, но знает о своём собственном свойстве, что одни или другие эффекты становятся больше других.

[protest]

Munin в сообщении #682556 писал(а):

одни или другие эффекты становятся больше других.

Alex_J в сообщении #682024 писал(а):

итого снаряд летит от астероида уже со скоростью 2v.

?

[rustot]

Alex_J в сообщении #682024 писал(а):

а с корабля - не видны. Какая тут логика работает?

логика такая, что в системе отсчета, где корабль изначально движется, он передал снаряду значительное количество своей кинетической энергии. и пренебрегать изменением скорости корабля в данном случае будет ошибкой, даже при массе корабля бесконечно большей, чем масса снаряда. учтите ее и все сойдется

пусть корабль бесконечно большой массы при выстреле получает конечное изменение импульса $dp$, изменение его скорости при этом бесконечно мало, но будет ли то же самое с изменением кинетической энергии? $\frac{dp dv}{2} + v_0 dp$ - второй член то вполне конечен при ненулевой начальной скорости

[protest]

rustot в сообщении #683227 писал(а):

логика такая, что в системе отсчета, где корабль изначально движется, он передал снаряду значительное количество своей кинетической энергии. и пренебрегать изменением скорости корабля в данном случае будет ошибкой, даже при массе корабля бесконечно большей, чем масса снаряда. учтите ее и все сойдется

А если так. Корабль не передаёт снаряду свою кинетическую энергию. Просто с корабля заправили двигатель снаряда антиматерией, и снаряд полетел на реактивном двигателе.