Условия интегрируемости

[Утундрий]

Имеется система

$${}^\alpha g_{\mu ,\nu } - {}^\alpha g_{\nu ,\mu } = {}_\beta ^\alpha \Gamma _\mu \cdot {}^\beta g_\nu - {}_\beta ^\alpha \Gamma _\nu \cdot {}^\beta g_\mu $$

${}_\beta ^\alpha \Gamma _\mu \left( {x^1 ,x^2 ...x^n } \right)$ - известны, ${}^\alpha g_\mu $ нужно найти. Все индексы пробегают $n$ значений, запятая - дифференцирование и предполагается суммирование по дважды повторяющимся индексам.

Собственно, как с такими системами дружить в плане отыскания для них условий интегрируемости? Одно необходимое отыскал методом тыка:

$${}_\beta ^\alpha F_{\mu \nu } \cdot {}^\beta g_\sigma + {}_\beta ^\alpha F_{\sigma \mu } \cdot {}^\beta g_\nu + {}_\beta ^\alpha F_{\nu \sigma } \cdot {}^\beta g_\mu = 0$$

(где обозначено ${}_\beta ^\alpha F_{\mu \nu } \equiv {}_\beta ^\alpha \Gamma _{\nu ,\mu } - {}_\beta ^\alpha \Gamma _{\nu ,\mu } + {}_\gamma ^\alpha \Gamma _\mu \cdot {}_\beta ^\gamma \Gamma _\nu - {}_\gamma ^\alpha \Gamma _\nu \cdot {}_\beta ^\gamma \Gamma _\mu $)

И всё. Дальше как-то совсем глухо и некоторым образом совершенно не ясно куды бечь.