2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 18:21 


05/02/13

68
МПТУ им. Дауна (пациентура, IX курс)
Пусть: 1) $N$ - некоторое множество;
2) ' - унарное отношение (следовать за) на $N$.

Аксиома 1. $\forall n \in N \ \exists ! n' \in N$.

Аксиома 2. $\exists 1 \in N \ \forall n \in N \ 1 \not=n'$.

Аксиома 3. $\forall m,n \in N \ m'=n' \ \Rightarrow m=n$.

Аксиома 4. Пусть $P(n)$ - некоторое высказывание, зависящее от $n \in N$. Если выполнены условия: 1) истинно $P(1)$, 2) из предположения о существовании $k \in N$, при котором истинно $P(k)$, следует истинность $P(k')$, то $P(n)$ истинно $\forall n \in N$.

Определение 1. Множество $N$ называется множеством натуральных чисел, если выполнены аксиомы 1-4. Обозначение: $\mathbb{N}$.

Теорема 1. $\forall m,n  \in \mathbb{N} \ m \not= n \ \Rightarrow \ m' \not= n'$.

Доказательство. Пусть $m \not= n$. Предположим, что $m'=n'$. Тогда, в силу аксиомы 3, $m=n$. Противоречие.

Теорема 2. $\forall n' \in \mathbb{N} \setminus \{1\} \ \exists ! n \in \mathbb{N}$.

Доказательство.
1) Единственность. Пусть дано число $n'\in \mathbb{N} \setminus \{1\}$, $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ - числа, предшествующие $n'$. Предположим, что $n_1 \not= n_2$. Тогда, в силу теоремы 1, $n' \not= n'$. Противоречие.
2) Существование.

Подскажите, пожалуйста, как доказать существование.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.02.2013, 18:24 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Вообще-то, в записи $n'$ уже подразумевается существование $n$.

Если же имелось в виду $\forall m\neq 1 \exists n (m = n')$, то это эквивалентно $\forall m (m = 1 \vee \exists n (m = n'))$ и доказывается по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 19:01 


05/02/13

68
МПТУ им. Дауна (пациентура, IX курс)
Буквальная формулировка такая: любое натуральное число, если оно не равно единице, имеет предшествующее.

Я не понял, как доказывать по индукции, если единицу не рассматриваем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 19:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну я, собственно, и написал во втором предложении.
Что Вам непонятно: как доказать $\forall m (m = 1\vee \exists n(m = n'))$ или как перейти от этого к требуемому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 19:16 


05/02/13

68
МПТУ им. Дауна (пациентура, IX курс)
Непонятно, как доказывать, если для единицы не выполняется. От чего тогда отталкиваться? Конечно, можно за базу индукции брать не единицу, а любое другое число, например, два, но эквивалентность двух принципов индукции тоже надо доказывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Я вам и говорю: докажите сначала $\forall m (m = 1 \vee \exists n (m = n'))$. Обычной индукцией. $P(k)$ будет $k = 1 \vee \exists n(k = n')$

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 19:33 


05/02/13

68
МПТУ им. Дауна (пациентура, IX курс)
1) $n=1$: $P(1)=\{1=1 \vee \exists n (1=n')\}$ - истинно, так как один из членов дизъюнкции истинен
2) $n=k$: $P(k)=\{k=1 \vee \exists n (k=n')\}$
3) $n=k+1$: $P(k+1)=\{k+1=1 \vee \exists n (k+1=n')\}$ - истинно по аксиоме 1

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 19:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Примерно так, да.
Теперь мы знаем, что любое натуральное число равно 1 или имеет предшественника. Если число не равно 1, то первый вариант невозможен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 20:07 


05/02/13

68
МПТУ им. Дауна (пациентура, IX курс)
Xaositect, спасибо.

-- 09.02.2013, 20:14 --

Nameless_2013 в сообщении #681930 писал(а):
3) $n=k+1$: $P(k+1)=\{k+1=1 \vee \exists n (k+1=n')\}$ - истинно по аксиоме 1


Хотя... Как используется второй пункт при доказательстве третьего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Nameless_2013 в сообщении #681939 писал(а):
Хотя... Как используется второй пункт при доказательстве третьего?
Никак, но это не важно :) Надо, чтобы мы умели доказать третий пункт в предположении, что второй верен, а если мы можем и без предположения его доказать, то все равно все хорошо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 20:20 


05/02/13

68
МПТУ им. Дауна (пациентура, IX курс)
Xaositect в сообщении #681941 писал(а):
Надо, чтобы мы умели доказать третий пункт в предположении, что второй верен, а если мы можем и без предположения его доказать, то все равно все хорошо.


Интересно... Много раз пользовался математической индукцией, но такого не видел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Построение множества натуральных чисел
Сообщение09.02.2013, 23:07 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если $A$ истинно, то и $B \to A$ всегда тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group