Ярославский областной турнир матбоев. Финал юниорской лиги

[V.V.]

1. Найти все тройки p, q, r, что уравнения
$x^2+px+q=0$ (1);
$x^2+qx+r=0$ (2);
$x^2+rx+p=0$ (3)
имеют корни, причем корнями первого являются числа q и r (и только они), второго - p и r (и только они), а третьего -- q и p (и только они).

2. Найти все натуральные числа, которые равны квадрату количества своих натуральных делителей.

3. В треугольние ABC проведена биссектриса BD. E и F - основания перпендикуляров, опущенных из A и C соответственно на прямую BD. M - основание перпендикуляра, опущенного из D на прямую BC. Докажите, что угол DME равен углу DMF.

4. Определить, какое число больше: $||5^{1/3}-3^{1/2}|-3^{1/2}|-5^{1/3}$ или 0,01?

5. В невозрастающей последовательности из 100 положительных действительных чисел сумма первых двух чисел не более 100, сумма оставшихся чисел также не более 100. Какое наибольшее значение может принимать сумма квадратов чисел в данной последовательности?

6. В треугольнике ABC точка O - центр вписанной окружности, касающейся сторон BC, CA, AB в точках D, E, F соответственно. Лучи BO и CO пересекают прямую EF в точках P и Q соответственно. Известно, что треугольник DPQ -- равнобедренный. Докажите, что треугольник ABC также равнобедренный.

7. Сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 1. Докажите, что $x^2y+y^2z+z^2x\leqslant \frac{4}{27}$.

8. За круглым столом сидят 25 депутатов. Каждый час на голосование выносится предложение и каждый из депутатов выносит свое решение - "за" или "против". При этом каждый депутат меняет свое решение в том и только том случае, если при предыдущем голосовании (час назад) его решение отличалось от решения обоих соседей. Докажите, что с какого-то момента каждый депутат перестанет менять свое решение.

[neo66]

V.V. писал(а):

4. Определить, какое число больше: $||5^{1/3}-3^{1/2}|-3^{1/2}|-5^{1/3}$ или 0,01?

$||5^{1/3}-3^{1/2}|-3^{1/2}|-5^{1/3}=0$

[neo66]

V.V. писал(а):

7. Сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 1. Докажите, что $f(x,y,z)=x^2y+y^2z+z^2x\leqslant \frac{4}{27}$.

Будем искать максимум функции $f(x,y,z)$ при указанных ограничениях на переменные.
Заметим, что $f(x,y,z)$ - циклически инвариантна. Поэтому, без ограничения общности, можно считать, что $x$ - максимальное. Далее, можно считать, что $y\geq z$, потому, что $f(x,y,z) - f(x,z,y) = (x-z)(x-y)(y-z) \geq 0 $, если $x\geq y\geq z$. Далее считаем, что $x\geq y\geq z$.
Тривиально проверяется "в лоб", что $f(x+z,y,0) \geq f(x,y,z)$.
Поэтому наша задача свелась к максимизации функции $f(x,y,0)=x^2y$ при ограничениях $x,y\geq 0, x+y=1$. Или $f(x,1-x,0)=x^2(1-x)$. Максимум этой функции $= \frac{4}{27}$ и достигается при $x= \frac{2}{3}$. Соответственно, $y= \frac{1}{3}, z=0$.

Окончательно: $f(x,y,z)\leqslant \frac{4}{27}$, равенство достигается в точках $(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0)$ с точностью до циклической перестановки координат.

[sadomovalex]

V.V. писал(а):

1
7. Сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 1. Докажите, что $x^2y+y^2z+z^2x\leqslant \frac{4}{27}$.

другое решение: заметим, что при $x=y=z=0$ и при $x\ne0,y=z=0$ неравенство верное. Пусть $x\ne0,y\ne0,z=0$. Тогда задача сводится к неравенству $x^2y\leqslant\frac{4}{27}$ или $x^2(1-x)\leqslant\frac{4}{27}$. Но $f(x)=x^2(1-x)$ имеет максимум, равный $\frac{4}{27}$ при $x=\frac{2}{3}$. Значит неравенство верно, если одна из переменных равна нулю.
Осталось рассмотреть случай $x\ne0,y\ne0,z\ne0$. Запишем задачу в виде:
$x^2y+y^2z+z^2x\leqslant 4,\,x+y+z=3$ или
$xyz\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right)\leqslant 4$. Используя неравенство о средних получаем $xyz\leqslant\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1$ для первого множителя и $x\frac{1}{z}\leqslant\left(\frac{x+\frac{1}{z}}{2}\right)^2$, $y\frac{1}{x}\leqslant\left(\frac{y+\frac{1}{x}}{2}\right)^2$,
$z\frac{1}{y}\leqslant\left(\frac{z+\frac{1}{y}}{2}\right)^2$ для второго. Равенства в последних неравествах достигается при равенстве $x=y=z=1$. Подставляя эти значения в исходное неравенство имеем $1(1+1+1)=3<4$

[neo66]

sadomovalex писал(а):

V.V. писал(а):

7. Сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 1. Докажите, что $x^2y+y^2z+z^2x\leqslant \frac{4}{27}$.

Осталось рассмотреть случай $x\ne0,y\ne0,z\ne0$. Запишем задачу в виде:
$x^2y+y^2z+z^2x\leqslant 4,\,x+y+z=3$ или
$xyz\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right)\leqslant 4$. Используя неравенство о средних получаем $xyz\leqslant\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1$ для первого множителя и $x\frac{1}{z}\leqslant\left(\frac{x+\frac{1}{z}}{2}\right)^2$, $y\frac{1}{x}\leqslant\left(\frac{y+\frac{1}{x}}{2}\right)^2$, $z\frac{1}{y}\leqslant\left(\frac{z+\frac{1}{y}}{2}\right)^2$ для второго. Равенства в последних неравествах достигается при равенстве $x=y=z=1$. Подставляя эти значения в исходное неравенство имеем $1(1+1+1)=3<4$

А разве $\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\leq 4$ при ограничении $x+y+z=3$?
Попробуйте значения $x=2;y=\frac{1}{2};z=\frac{1}{2}$.

[sadomovalex]

нет, там еще первый множитель. Поэтому я оценку провел сразу для обоих

[neo66]

Тогда я вообще ничего не понимаю. Первый множитель не больше 1. С этим вопросов нет. Вопрос ко второму множителю. Вы считаете, что он всегда меньше или равен $3$?

[sadomovalex]

равен 3. Т.е. из неравества для средних мы получили для первого множителя $x=y=z=1$, а для второго, что $x=\frac{1}{z},y=\frac{1}{x},z=\frac{1}{y}$, т.е. $xz=yx=zy=1$, откуда также получилается, что $x=y=z=1$

[neo66]

sadomovalex писал(а):

равен 3. Т.е. из неравества для средних мы получили для первого множителя $x=y=z=1$, а для второго, что $x=\frac{1}{z},y=\frac{1}{x},z=\frac{1}{y}$, т.е. $xz=yx=zy=1$, откуда также получилается, что $x=y=z=1$

Продолжаю непонимать . Каким чудом из неравества для средних Вы получили $x=y=z=1$?

[sadomovalex]

sadomovalex писал(а):

Используя неравенство о средних получаем $xyz\leqslant\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1$

равенство и, следовательно, максимальное значение достигается при $x=y=z$, а т.к. $x+y+z=3$, то $x=y=z=1$

[neo66]

Sadomovalex, у меня к Вам предложение! Докажите Вашим методом неравенство:
$xyz\left(\frac{x^2}{z^2}+\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}\right)\leqslant 4$ при ограничении $x+y+z=3$.
Дословно проходит. Так?

Ay... Что-то Вы надолго задумались .

[sadomovalex]

я на выходных без интернета приведите контрпример для последнего неравенства

[worm2]

sadomovalex писал(а):

я на выходных без интернета приведите контрпример для последнего неравенства

А что тут думать? Взять x маленьким, y и z произвольными (но чтобы выполнялось x+y+z=3). При уменьшении x выражение слева будет неограниченно возрастать примерно как $y^3z/x$.

[neo66]

sadomovalex писал(а):

я на выходных без интернета приведите контрпример для последнего неравенства

$x=2;y=\frac{1}{2};z=\frac{1}{2};$

[sadomovalex]

да, Вы правы, вроде последнее неравенство тоже подходит под мое доказательство, а значит, принимая во внимание контрпример, последнее не верно. Жаль, красивая, на мой взгляд, идея не сработала