Рекуррента

[devgen]

$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$

1.Посмотрим, возрастает или убывает последовательность:
$a_{n+1}=\sqrt{a_n+2}$
$a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}+2}=\sqrt{\sqrt{a_n+2}+2}$
$a_{n+1}\vee a_{n+2}\Rightarrow a_{n}^2-a_n-2\vee0$

Получаем:
$a_n\in(-2;-1)\cup(2;+\infty)\Rightarrow a_{n+1}>a_{n+2}$
$a_n\in(-1;2)\Rightarrow a_{n+1}<a_{n+2}$
$a_n\in\{-1;2\}\Rightarrow a_{n+1}=a_{n+2}$

Не совсем понимаю, что следует из результата.
Если $a_0$ больше двух, последовательность убывает и "попадет" в двойку, это хорошо.
Если $a_0\in(-1;2)$ последовательность растёт и "попадет" в двойку, это тоже хорошо.
Если $a_0\in(-2;-1)$, последовательность вроде как должна убывать, но видно, что она растёт?
Почему -1 входит в множество $a_{n+1}=a_{n+2}$?

2. Далее, попробуем подойти к проблеме с другого бока.

$f:x \mapsto \sqrt {x +2}$
${f}'(x)=\frac{1}{2\sqrt {x +2}}$
$x\in(-\frac{7}{4};+\infty) \Rightarrow {f}'(x)<1$
$x\in [-2;-\frac{7}{4}] \Rightarrow {f}'(x)\geq 1$

Получается, что в общем доказать, что последовательность фундаментальная не выходит, а на части domain можно. Например, при $x\in [1;+\infty)\Rightarrow \{f}'(x)\leq \frac{1}{2}$
$|a_m-a_n|\leq (\frac{1}{2}})^{n-1}|a_1-a_0|$

Я не очень понимаю, что это значит. Что при $a_0\in[-2;-\frac{7}{4}]$ последовательность не сходится? Но "руками" видно, что это не так.

[nikvic]

А слабО нарисовать график и провести прямую "под 45 градусов"?

[devgen]

Дело не в том, чтобы получить ответ-число, а разобраться в вопросах.

[nikvic]

devgen в сообщении #681669 писал(а):

Дело не в том, чтобы получить ответ-число, а разобраться в вопросах.

Для этого картинка и нужна.

[devgen]

Ну вот я вижу, что $y=x$ и $y=\sqrt{x+2}$ пересекаются в точке 2. Не знаю, как мне помочь себе этим знанием: откуда берется -1 и что с фундаментальностью

[devgen]

Решил внимательно неравенство и 1 снимается.

[Cash]

А что вы понимаете под фундаментальностью?

[devgen]

$a_n$ фундаментальна, если для любого $e>0$, существует такое натуральное N, что $|a_m-a_n|<e$ как только $m,n>N$

[Cash]

Цитата:

как только $m,n>N$

Почему же вас так волнует значение $a_0$? Выбросьте его, да и дело с концом.

[devgen]

Не знаю, мне не нравится. Я как-то запутался. Можно вообще так доказывать фундаментальность? Какая связь между $y=\sqrt{x+2}$ и $x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}$ Ведь непрерывным аналогом последовательности было бы если бы я выразил $x_n$ от $n$...

[Cash]

Цитата:

Какая связь между $y=\sqrt{x+2}$ и $x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}$

Между такими не знаю, а вот между $y=\sqrt{x+2}$ и $x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}$ следущая графическая интерпретация:
Вы строите графики $y=\sqrt{x+2}$ и $y=x$, а далее "лесенку" - отмечаете на графике корня произвольную начальную точку и проводите горизонтальную прямую до пересечения с $y=x$, а затем вертикально до пересечения с $y=\sqrt{x+2}$. Получаете следующую точку и т.д.
Фундаментальность вы же почти доказали. Только уперлись в $a_0$. Не нужно. У вас гарантированно $a_i>1$, при $i \geqslant 2$. Вот и стартуйте с $a_2$. $|a_4-a_3|<\frac 12|a_3-a_2|$ и поехали...

[devgen]

Извините, сделал опечатку.
Спасибо, теперь более-менее ясно.
Можно ли утверждать, что у рекуррентной последовательности есть предел только тогда, когда ей соответствует сжимающее отображение? А если отображение будет сжимающим только на отрезке? Тогда существованием предела зависит от начального условия?

Можно ли построить такую рекурренту, у которой было бы две неподвижные точки и предел бы зависел от начального условия?

[Cash]

devgen в сообщении #681736 писал(а):

существование предела зависит от начального условия?

В общем случае, несомненно так.

Цитата:

Можно ли построить такую рекурренту, у которой было бы две неподвижные точки и предел бы зависел от начального условия?

Безусловно.

Цитата:

Можно ли утверждать, что у рекуррентной последовательности есть предел только тогда, когда ей соответствует сжимающее отображение?

Нет. Сжимающее отображение - гораздо более сильное условие.
(вашу фразу про сжимающее отображение я расшифровываю так: $ \exists N, \exists \lambda <1: \forall n >N$ выполнено $|x_{n+2}-x_{n+1}| \leqslant \lambda |x_{n+1}-x_n|$)