phi(19+n) | (19+sigma(n))

[maxal]

Найдите такое натуральное число $n$, что

$$\varphi(19+n) \mid (19+\sigma(n)),$$

где $\varphi(\cdot)$ - функция Эйлера, $\sigma(\cdot)$ - сумма делителей.

[Руст]

А существует ли такое n?
Ясно, что если существует, то n должен быть квадратом натурального числа, иначе слева чётное число, справа нечётное. Но и это ничего не дало для нахождения такого числа.
Делимость на 3 правой части так же даёт сильные ограничения. Мне не удалось найти такое n, когда правая часть не превосходит 2^{32}.

[maxal]

Руст писал(а):

Ясно, что если существует, то n должен быть квадратом натурального числа, иначе слева чётное число, справа нечётное.

Удвоенным квадратом n также может быть.

[Руст]

Да, это я упустил. Однако, всё равно не нашёл решения.

[maxal]

Мне тоже не удалось найти решения, хотя были проверены $n=k^2$ и $n=2k^2$ для всех $k\leq 10^8.$
Может, его вообще не существует, но как доказать?

[Руст]

А откуда взялась задача?
Почему в выражении 19, а скажем не 1.

[maxal]

Для всех чисел меньших 19 решение легко находится.

[maxal]

Еще одна сложная задачка из той же оперы - найти (наименьшее) решение уравнения:

$$\sigma(n+23) = \sigma(n)+23.$$

[covax]

maxal в сообщении #68083 писал(а):

Найдите такое натуральное число $n$, что $\varphi(19+n) \mid (19+\sigma(n)),$ где $\varphi(\cdot)$ - функция Эйлера, $\sigma(\cdot)$ - сумма делителей.

$n=2^k$, где $n+19$ - простое число, минимальное получилось $n=2^{30}$.
$\varphi(19+2^{30}) = 19+\sigma(2^{30}) = 19+2^{30}-1 = 1073741842$

maxal в сообщении #244854 писал(а):

Еще одна сложная задачка из той же оперы - найти (наименьшее) решение уравнения: $\sigma(n+23) = \sigma(n)+23.$

$2619=97\cdot27$, перебором.

Боюсь, я что-то недопонял в условии.

[maxal]

covax
$\sigma(2^{30})=2^{31}-1\ne 2^{30}-1$
Вероятно, вы путаете сумму делителей с суммой собственных делителей.

[covax]

maxal в сообщении #245351 писал(а):

covax
$\sigma(2^{30})=2^{31}-1\ne 2^{30}-1$
Вероятно, вы путаете сумму делителей с суммой собственных делителей.

Да, прошу прощения.