Помогите вывести формулу

[Math_noob]

Столкнулся с задачей где требовалось посчитать сумму членов последовательности:

$1^2+2^2+3^2+4^2+...+(n-1)^2$

Путем усердного использования поисковых систем узнал что это арифметическая прогрессия второго порядка, продолжив поиски нашел формулу $S = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ которая, как было сказано, является суммой арифметической прогрессии второго порядка. Вопрос таков: как можно вывести эту формулу если известны только выражения для А. прогрессии первого порядка?

[gris]

Поправьте: это сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел, а не $n-1$.
Доказать можно по индукции.
Вывести можно, например, используя различные представления квадрата числа.

[Math_noob]

gris в сообщении #681455 писал(а):

Поправьте: это сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел, а не $n-1$.
Доказать можно по индукции.
Вывести можно, например, используя различные представления квадрата числа.

Поправить бы я рад, только из за того что не знаю как эта формула получилась, не знаю как ее и поправить. Расскажите пожалуйста чуть подробнее про представления квадрата числа, для этой задачи.

[gris]

Я имел в виду

$1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

На форуме уже обсуждался и вывод общей формулы для суммы произвроьных натуральных степеней, и различные исторические аспекты вопроса:кто, когда, каким способом. Квадрат натурального числа можно представить как сумму последовательных нечётных чисел, выразить через разность кубов двух натуральных чисел. Можно отыскать многочлен третьей степени, который получается после раскрытия скобок.

[Cash]

Вы знаете такое тождество
$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$
Запишите $n$ таких равенств для $k=1,2,3 \ldots n$ и сложите их.

[Math_noob]

gris в сообщении #681464 писал(а):

Я имел в виду

$1^2+2^2+3^2+4^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

На форуме уже обсуждался и вывод общей формулы для суммы произвроьных натуральных степеней, и различные исторические аспекты вопроса:кто, когда, каким способом. Квадрат натурального числа можно представить как сумму последовательных нечётных чисел, выразить через разность кубов двух натуральных чисел. Можно отыскать многочлен третьей степени, который получается после раскрытия скобок.

Ясно, большое спасибо. А для, приведенной мной, последовательности сумма будет равна
$S=\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}$ ?

Cash в сообщении #681467 писал(а):

Вы знаете такое тождество
$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$
Запишите $n$ таких равенств для $k=1,2,3 \ldots n$ и сложите их.

Сейчас попробую!

[Joker_vD]

Все это, в общем-то, всего лишь интерполяционная формула Ньютона...

[gris]

Интересна детсадовская геометрическая интерпретация формулы.
Кладём кубик в угол системы координат. Следующий ряд состоит из одного кубика и столбика из трёх кубиков. Потом ряд из трех столбиков: $1,3$ и $5$ кубиков. Наконец ряд из $n$ столбиков: $1,3,5...(2n-1)$ кубика. Каждый $k$-тый ряд состоит из $k^2$ кубиков. Видно, что вся конструкция представляет собой ступенчатую пирамиду, вписанную в координатный угол. Объём пирамиды в кубиках как раз равен искомой сумме квадратов.
Осторожно проведём теперь секущую плоскость, отступив на $1$ и $2$ кубика по высоте и длине, так, чтобы отсечённые части кубиков ровно укладывались в пустые места под плоскостью. Получится уже сплошная треугольная пирамида с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами в $n,n+1,2n+1$, объём которой равен объёму ступенчатой пирамида. А объём пирамиды мы находить умеем.