Вавилонские парадоксы

[Lukin]

Xaositect в сообщении #681158 писал(а):

aspydb в сообщении #681154 писал(а):

В приведенной вам второй логической формуле я тоже никакого выбора не вижу. В переводе на русский язык она означает буквально следующее: если множество не пустое, в нем есть хотя бы один элемент.

Именно. Аксиома выбора тоже утверждает существование выбирающей функции, и ничего больше.

$x\neq \varnothing\to (\exists y) y\in x$
А как определить, что множество $x$ не пусто ?

Xaositect в сообщении #681138 писал(а):

Например, доказано, что существует элемент множества $\{e + \pi, e\pi\}$, не являющийся рациональным числом. Но на настощий момент точного описания этого элемента не существует, так как неизвестно, является ли какое-нибудь из этих чисел рациональным, и, если является, то какое.

Это множество не пусто и каждое число точно описано и это описание входит в рассматриваемый счетный список утверждений теории о числах (множествах).
Когда же в теории утверждается существование множества, для которого в теории не существует формулы (описания), это напоминает апорию или разновидность Геделевского предложения. Ведь само такое утверждение уже является описанием этого множества и оно входит в счетный список всех описываемых теорией множеств, хотя и утверждает собственную несчетность.
Если невнятно получилось, извиняйте.

[Xaositect]

aspydb в сообщении #681212 писал(а):

Поверьте, я их читал и знаю о чем они говорят. Только боюсь, что главный аргумент Куменкова выглядит не менее убедительно: можно выбрать и вообще что-то сделать только с таким математическим объектом, который имеет точное математическое описание. Иначе получается какой-то дзен-буддизм, типа истина существует, но она невыразима.

Именно. Классическое утверждение о существовании вообще говоря не дает никакого способа описания объекта. Если хочется говорить только о построенных объектах, можно работать в рамках конструктивной математики. Там различаются кванторы "существует" (в смысле "можно построить") и "не может не существовать". Правда, там и понятие счетности другое, так как не любое подмножество $\mathbb{N}$ конструктивно биективно $\mathbb{N}$

[aspydb]

Xaositect в сообщении #681233 писал(а):

Если хочется говорить только о построенных объектах, можно работать в рамках конструктивной математики.

Создается впечатление, что с основаниями математики лучше вообще не работать. По крайней мере до тех пор, пока математики не выяснят окончательно, что у них существует, а что нет. Спасибо вам за разъяснения.

[AGu]

aspydb в сообщении #681278 писал(а):

Создается впечатление, что с основаниями математики лучше вообще не работать. По крайней мере до тех пор, пока математики не выяснят окончательно, что у них существует, а что нет.

Абсолютного знания нет, о чем обычно не знают околоматематические псевдофилософы.
(Абсолютное незнание -- есть, и им обычно владеют околоматематические псевдофилософы.)