Вавилонские парадоксы

[aspydb]

Есть в сети один товарищ, который уже давно занимается альтернативной наукой: изобретает новые исчисления, исправляет ошибки корифеев физики, решает мировые проблемы и т.п. А недавно он написал новый опус (http://al-kumenkov.narod.ru/blibrarian.pdf), где утверждает, что аксиома выбора может не выполняться для несчетных множеств, а диагональный метод Кантора доказывает несчетность множества действительных чисел только при условии существования наибольшего натурального числа. Я бы не стал начинать новую тему из-за альтернативщика, но в данном случае его рассуждения показались мне понятными и даже убедительными. У меня возник вопрос: неужели в теории множеств такие парадоксы еще не рассматривались? Что-то слабо верится. А если рассматривались, то как объясняются?

[Xaositect]

Ошибка, вполне ожидаемо, находится там, где автор перестает заниматься математикой и начинает псевдоматематическое псевдофилософствование. А именно, после того, как совершенно правильно построена биекция между конечными последовательностями и натуральными числами начинается бессмиысленное рассуждение о "экстраполяции этой биекции на актуальную бесконечность". Что автор имеет в виду под этим сочетанием терминов, я так и не понял, но в любом случае доказано только соответствие между конечными последовательностями и натуральными числами, а используется оно для действительных чисел, которые являются бесконечными последовательностями цифр.

[aspydb]

Xaositect в сообщении #681006 писал(а):

А именно, после того, как совершенно правильно построена биекция между конечными последовательностями и натуральными числами начинается бессмиысленное рассуждение о "экстраполяции этой биекции на актуальную бесконечность".

Насколько я понял, эти рассуждения он привел, чтобы сослаться на них потом: "Правда, в бесконечносимвольном случае ему будет соответствовать бесконечный истинный индекс, но, как мы выяснили в ходе доказательства счетности множества B, элементам с бесконечносимвольным описанием могут соответствовать бесконечные индексы. Это не нарушает биекции."

Xaositect в сообщении #681006 писал(а):

но в любом случае доказано только соответствие между конечными последовательностями и натуральными числами

Из этого соответствия он делает вывод, что математика может описать только такую совокупность действительных чисел, которая является счетным множеством. Поэтому я и хотел бы узнать, можно ли такой вывод опровергнуть? Если нет, тогда получается, что автор вроде бы прав, а теория множеств нет?

[Xaositect]

aspydb в сообщении #681087 писал(а):

Насколько я понял, эти рассуждения он привел, чтобы сослаться на них потом: "Правда, в бесконечносимвольном случае ему будет соответствовать бесконечный истинный индекс, но, как мы выяснили в ходе доказательства счетности множества B, элементам с бесконечносимвольным описанием могут соответствовать бесконечные индексы. Это не нарушает биекции."

Тем более. Бесконечные индексы (заметим, не определенные явно) в любом случае не принадлежат множеству натуральных чисел. Поэтому если у какого-то элемента множества получается бесконечный индекс, то мы не можем сказать, что множество счетно. Счетность множества доказывается соответствием только с натуральными числами.

aspydb в сообщении #681087 писал(а):

Из этого соответствия он делает вывод, что математика может описать только такую совокупность действительных чисел, которая является счетным множеством. Поэтому я и хотел бы узнать, можно ли такой вывод опровергнуть? Если нет, тогда получается, что автор вроде бы прав, а теория множеств нет?

Тут есть различие между понятиями "описать совокупность действительных чисел" и "описать каждое число из совокупности". Существует только счетное число определимых (описываемых конечной формулой над конечным алфавитом в конкретной теории) действительных чисел. При этом совокупность действительных чисел, задаваемая формулой, например $\{x| x < 0\}$, может содержать несчетное число действительных чисел.

[aspydb]

Я как раз имел ввиду совокупность тех действительных чисел, каждое из которых может быть точно описано математически. Но если можно описать только счетную совокупность чисел, то и выбрать можно только их счетную совокупность. Вроде бы так?

[Xaositect]

aspydb в сообщении #681103 писал(а):

Я как раз имел ввиду совокупность тех действительных чисел, каждое из которых может быть точно описано математически. Но если можно описать только счетную совокупность чисел, то и выбрать можно только их счетную совокупность. Вроде бы так?

Откуда выбрать?

[aspydb]

Xaositect в сообщении #681104 писал(а):

Откуда выбрать?

А разве из контекста нашего обсуждения неясно? Из множества действительных чисел можно выбрать только счетную совокупность действительных чисел. Это утверждение автора и я пока с ним склонен соглашаться. А выбирается каждое из этих чисел предоставлением их точного математического описания. Поэтому если из предположительно несчетного множества действительных чисел выбрать все числа, которые только поддаются выбору, у нас останется множество чисел, ни одно из которых выбрать нельзя. Получается противоречие с аксиомой выбора. Мне бы хотелось понять, разрешимо ли это противоречие и каким образом.

[Xaositect]

aspydb в сообщении #681118 писал(а):

Мне бы хотелось понять, разрешимо ли это противоречие и каким образом.

Для этого сначала сформулируйте аксиому выбора. Во-первых, аксиома выбора вообще говорит не о выборе элемента из множества, а о выборе представителей из семейства множеств. Во-вторых, вся подозрительность вокруг нее как раз и состоит в том, что она говорит "существует способ выбрать по элементу из каждого множества семейства" и не говорит, что существует способ определить или построить эти элементы.

[aspydb]

Xaositect в сообщении #681121 писал(а):

Для этого сначала сформулируйте аксиому выбора. Во-первых, аксиома выбора вообще говорит не о выборе элемента из множества, а о выборе представителей из семейства множеств. Во-вторых, вся подозрительность вокруг нее как раз и состоит в том, что она говорит "существует способ выбрать по элементу из каждого множества семейства" и не говорит, что существует способ определить или построить эти элементы.

Если вам не трудно, пожалуйста, разъясните мне, почему семейство множеств не может состоять только из одного множества, и как можно выбрать элемент множества, не предоставив его точного математического описания? Формулировать аксиому выбора, думаю, нет необходимости. Это уже давно сделано до нас. Можно заглянуть в любой учебник.

[Xaositect]

aspydb в сообщении #681129 писал(а):

как можно выбрать элемент множества, не предоставив его точного математического описания?

Например, доказано, что существует элемент множества $\{e + \pi, e\pi\}$, не являющийся рациональным числом. Но на настощий момент точного описания этого элемента не существует, так как неизвестно, является ли какое-нибудь из этих чисел рациональным, и, если является, то какое.

aspydb в сообщении #681129 писал(а):

почему семейство множеств не может состоять только из одного множества

Может, но утверждение аксиомы выбора при этом тривиально ( сводится к утверждению $x\neq \varnothing\to (\exists y) y\in x$, которое является частью определения пустого множества)

-- Чт фев 07, 2013 20:18:39 --

aspydb в сообщении #681129 писал(а):

Формулировать аксиому выбора, думаю, нет необходимости. Это уже давно сделано до нас. Можно заглянуть в любой учебник.

Можете посмотреть Колмогоров, Драгалин, Математическая логика. Дополнительные главы, глава I.

[мат-ламер]

Xaositect в сообщении #681121 писал(а):

Во-вторых, вся подозрительность вокруг нее как раз и состоит в том, что она говорит "существует способ выбрать по элементу из каждого множества семейства" и не говорит

Просьба писать попроще, поскольку я, например, не понимаю, что формально значит "существует способ выбрать". Может ту же мысль можно выразить словами "Cуществует множество, содержащее по одному элементу из каждого множества из семейства множеств."?

[Xaositect]

мат-ламер в сообщении #681140 писал(а):

Просьба писать попроще, поскольку я, например, не понимаю, что формально значит "существует способ выбрать". Может ту же мысль можно выразить словами "Cуществует множество, содержащее по одному элементу из каждого множества из семейства множеств."?

Стандартная формулировка "Для любого семейства $z$ существует функция $f$, отображающая любой непустой элемент $x\in z$ в такое $y$, что $y\in x$".

[aspydb]

Xaositect в сообщении #681138 писал(а):

Например, доказано, что существует элемент множества $\{e + \pi, e\pi\}$, не являющийся рациональным числом. Но на настощий момент точного описания этого элемента не существует, так как неизвестно, является ли какое-нибудь из этих чисел рациональным, и, если является, то какое.

Для каждого элемента указанного вами множества вы предоставили точное математическое описание. Но осуществить выбор между ними пока нельзя. Причем это только пока. Может в будущем математики его осуществят. Я же просил вас разъяснить мне, как можно осуществить выбор, не предоставив точного математического описания? То есть я вас спросил про одно, а вы мне ответили совершенно про другое.

Xaositect в сообщении #681138 писал(а):

Может, но утверждение аксиомы выбора при этом тривиально ( сводится к утверждению $x\neq \varnothing\to (\exists y) y\in x$, которое является частью определения пустого множества)

В приведенной вам второй логической формуле я тоже никакого выбора не вижу. В переводе на русский язык она означает буквально следующее: если множество не пустое, в нем есть хотя бы один элемент.

[Xaositect]

aspydb в сообщении #681154 писал(а):

Для каждого элемента указанного вами множества вы предоставили точное математическое описание. Но осуществить выбор между ними пока нельзя. Причем это только пока. Может в будущем математики его осуществят. Я же просил вас разъяснить мне, как можно осуществить выбор, не предоставив точного математического описания? То есть я вас спросил про одно, а вы мне ответили совершенно про другое.

Я пытался объяснить разницу между классическим утверждением существовании и описанием. Боююсь, у меня это не очень получается на неформальном уровне. Поэтому я прошу Вас почитать учебник по теории множеств и потом мы можем обсудить вопрос о том, что существование выбирающей функции не имеет никакого отношения к описанию элементов множества.

aspydb в сообщении #681154 писал(а):

В приведенной вам второй логической формуле я тоже никакого выбора не вижу. В переводе на русский язык она означает буквально следующее: если множество не пустое, в нем есть хотя бы один элемент.

Именно. Аксиома выбора тоже утверждает существование выбирающей функции, и ничего больше.

[aspydb]

Xaositect в сообщении #681158 писал(а):

Я пытался объяснить разницу между классическим утверждением существовании и описанием. Боююсь, у меня это не очень получается на неформальном уровне. Поэтому я прошу Вас почитать учебник по теории множеств и потом мы можем обсудить вопрос о том, что существование выбирающей функции не имеет никакого отношения к описанию элементов множества.

Поверьте, я их читал и знаю о чем они говорят. Только боюсь, что главный аргумент Куменкова выглядит не менее убедительно: можно выбрать и вообще что-то сделать только с таким математическим объектом, который имеет точное математическое описание. Иначе получается какой-то дзен-буддизм, типа истина существует, но она невыразима.