Разложение группы в прямое произведение циклических

[Gorthad]

Помогите, пожалуйста, решить задачу.

Описать все групповые характеры $(\mathbb{Z}/363\mathbb{Z})^*$.
Для этого необходимо разложить $(\mathbb{Z}/363\mathbb{Z})^*$ в прямое произведение циклических.

Я посчитал количество элементов в этой группе:
$363=3\cdot11\cdot11,\quad \left|(\mathbb{Z}/363\mathbb{Z})^*\right|=\varphi(363)=363\cdot\left(1-\frac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{11}\right)=220$

$220=2\cdot2\cdot5\cdot11 \Rightarrow (\mathbb{Z}/363\mathbb{Z})^* = G_1 \times G_2 \times G_3 \times G_4,$

\quad |G_1|=|G_2|=2, |G_3|=5, |G_4|=11. $

Вопрос: как найти образующие этих групп?

[AV_77]

Лучше начать с $\mathbb{Z}_{363}^* \simeq \mathbb{Z}_{121}^* \times \mathbb{Z}_3^*$.

[Gorthad]

Хорошо. По теореме о строении групповых характеров, если $G = \langle g_1\rangle \times ... \times \langle g_n \rangle, \quad \operatorname{ord} g_i = h_i$, то любой характер $\chi (g) = \chi ({g_1}^{r_1} ... {g_n}^{r_n}) = {\zeta_1}^{r_1} ... {\zeta_n}^{r_n} $, где $\zeta_i$ - корни из единицы степени h_i.

Значит, вы говорите, в данном случае надо найти образующие групп, изоморфных $\mathbb{Z}_3^{*}$ и $\mathbb{Z}_{121}^{*}$. Как это сделать?

[Gorthad]

Bump

[AV_77]

$\mathbb{Z}_3^* = \langle 2 \rangle$, $\mathbb{Z}_{121}^* = \langle 2 \rangle$.

Только зачем они вам нужны? Для описания достаточно порядков прямых множителей. Вам же не обязательно эти характеры в явном виде строить.

[Deggial]

Gorthad, замечание за искусственный подъем темы

[Gorthad]

Цитата:

Для описания достаточно порядков прямых множителей. Вам же не обязательно эти характеры в явном виде строить.

Поясните, я Вас не понял.