Задача из теории полугрупп. Тамура

[Barabashka]

$\rho$ - преобразование
$(xy)\rho = x(y\rho)$ - правый сдвиг
$x\lambda_k = kx, \forall x \in S, k \in S$ - внутренний левый сдвиг
$x\gamma_k = k, \forall x \in S, k \in S$ - правый нуль полугруппы преобразований $I_S$
$xk = k, \forall x \in S, k \in S$ - правый нуль полугруппы $S$

Полугруппа $S$ является полугруппой правых нулей тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих свойств

а) все преобразования полугруппы $S$ являются правыми сдвигами
б) единственным левым сдвигом полугрппы $S$ является тождественное отображение

а) так как все преобразования являются правыми сдвигами, рассмотрим правые нули полугруппы преобразований.
$(xy)\gamma_k = x(y\gamma_k) \Rightarrow k = xk, \forall x,y \in S, k \in S$ т.е. $S$ - полугруппа правых нулей.


б) так как полугруппа преобразований $I_S$ моножества $S$ содержит все возможные отображения множества $S$ в $S$, то для любого элемента $s$ найдется внутренний левый сдвиг $\lambda_s$, т.е. $sx = x\lambda_s, \forall x \in S$. В силу того, что по условию существует один левый сдвиг являющийся тождественным отображением, то все внутренние левые сдвиги равны тождественному отображению. Тогда $sx = x\lambda_s = x, \forall x \in S, s \in S$. Значит $S$ - полугруппа правых нулей.

Все ли верно?

[bnovikov]

Верно.

[muzeum]

bnovikov в сообщении #679784 писал(а):

Верно.

Нет не все верно, не доказано утверждение (а):
В условии задачи ничего не говорится о правых нулях полугруппы преобразований. С чего взято, что любой внутренний правый сдвиг является таким нулем?

[Barabashka]

$\gamma_k$ - не внутренний правый сдвиг элемента $k$, а правый нуль полугруппы преобразований, сходящийся в $k$.
1. так как правый нуль полугруппы преобразований подпадает под определние "все преобразования, являющиеся правыми сдвигами", то я их рассмотрел.
2. так как из этого рассмотрения следует, что элементы полугруппы являются правыми нулями - я сделал вывод, что это полугруппа правых нулей.

Если у вас есть другой подход, то могли бы вы его предоставить?

[muzeum]

Прошу прощения, действительно все верно. Других подходов не требуется, т.к. этот - вполне симпатичен. Но можно и прямо "в лоб": предположим, что для некоторых элементов $xy=z\ne{y}$ тогда отображение $f$, для которого $(y)f=(z)f=y$ не является правым сдвигом.