Реализуемые последовательности в гильбертовом пространстве

[AGu]

Следующая (ученическая, но, как мне кажется, полезная и забавная) задача возникла в ходе нашей недавней беседы с коллегой.

Пусть $X$ — бесконечномерное вещественное гильбертово пространство.

Числовую последовательность $(\alpha_n)_{n\in\mathbb N}$ назовем реализуемой для последовательности $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ элементов $X$, если существует такой вектор $x\in X$, что $\langle x,x_n\rangle=\alpha_n$ для всех $n\in\mathbb N$.

Например, числовые последовательности из $\ell^2=\bigl\{(\alpha_n)_{n\in\mathbb N} : \sum_{n\in\mathbb N}\alpha_n^2<\infty\bigr\}$ — и только они — реализуемы для любых ортонормированных последовательностей. [Теорема Пифагора, неравенство Бесселя и т.п.]

Числовую последовательность назовем универсально реализуемой, если она реализуема для любой линейно независимой последовательности, составленной из векторов единичной нормы.

Задача. Описать универсально реализуемые числовые последовательности.

[Oleg Zubelevich]

Допустим гильбертово пространство сепарабельно. И пусть $\{x_n\}$ -- счетное плотное на единичной сфере множество л.н. векторов. И $\alpha_n$ -- универсально реализуемая последовательность.
Т.е. найдется $x$ такой, что $(x,x_n)=\alpha_n$.

Если $x\ne 0$ найдется подпоследовательность $x_{n'}$ такая, что

$$\Big\|\frac{x}{\|x\|}-x_{n'}\Big\|\to 0,\quad n'\to\infty$$

откуда $\alpha_{n'}\to\|x\|\ne 0$. При этом, поскольку мы можем еще рассматривать ортонормированные системы должно быть $\sum_k\alpha_k^2<\infty$ Противоречие
Следовательно, $x=0$ и все $\alpha_n=0$.

[AGu]

Oleg Zubelevich, прелестное решение!
(И значительно более простое, чем то, которое было припасено топикстартером.)
Спасибо.