Мощность множества

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте! Не могу понять, а в каких "единицах" измеряется мощность множества? Правильно ли я понял, что множество всех подмножеств $\Phi(S)$ не является счётным множеством? (так как не определена обратная операция, и таким образом, отображение $f:S\rightarrow{S}$ не является взаимооднозначным (множество не может содержаться в собственном подмножестве :) А всё ли это говорит про его мощность, или ещё надо число элементов указать?

-- 04.02.2013, 15:46 --

прочитал в энциклопедии и понял, что существует четыре различных мощности. всё равно непонятно, почему одна "больше", а другая "меньше" Про число элементов глупость сказал.

[ИСН]

Мощность - это и есть число элементов. Она измеряется в штуках. Различных мощностей гораздо больше, чем четыре. Мощность всего одна.
Раньше беспорядочное употребление непонятных слов могло привести к отрубанию головы. Но теперь гуманизм.

[Nikolai Moskvitin]

ИСН в сообщении #679941 писал(а):

Мощность - это и есть число элементов.

А если множество бесконечно?

Проверьте также, как я попытался решить следующее задание:
"Показать, что конечная декартова степень счётного множества является счётным множеством". Прежде всего, отображение$ f:X^k\rightarrow{N}$ должно быть биективным. Так как множество X^k конечное, то достаточно доказать его инъективность (есть такая теорема).
Я воспользовался доказанным ранее (общими усилиями) утверждением:
Пусть $f:X\rightarrow{Y}$- отображение и $b=f(a)$. Прообраз $f^{-1}(b)$ называется слоем над элементом $b$. Тогда всё множество X является объединением непересекающихся слоёв.
Элементы множества $X^k$ представляют собой упорядоченные наборы чисел; они являются слоями над элементами множества N. Тогда эти слои не пересекаются, следовательно, например, $(x_1,x_2)\cap{(x_3,x_4)}=\oslash$. По определению упорядоченной пары получается: $(x_1,x_2)=(x_3,x_4)$ тогда и только тогда, когда $x_1=x_3$ и $x_2=x_4$, следовательно, $x_1\neq{x_3}$ и $x_2\neq{x_4}$. Тогда поскольку образ$ f(x_1,x_2)$ сам является упорядоченной парой (а вот как это доказать?), то для него $f(x_1,x_2)=f(x_3,x_4)$ тогда и только тогда, когда $f(x_1)=f(x_3)$ и $f(x_2)=f(x_4)$. Поэтому, чтобы $f(x_1,x_2)\neq{f(x_3,x_4)}$ (1), достаточно $x_1\neq{x_3}$ и $x_2\neq{x_4}$. Тогда из следования: $(x_1,x_2)\neq{(x_3,x_4)}\Rightarrow{f(x_1,x_2)\neq{f(x_3,x_4)}}$можно заключить, что отображение $f$-инъективное. Таким образом, задача сведена к случаю $k=1$. Но этот случай, вроде, очевиден.

[ИСН]

У Вас опять избыточно высокий уровень абстракции (много сложных букв). От этого происходят коллизии, например: "Так как множество конечное..." Минуточку, это какое такое множество - конечное?

[Nikolai Moskvitin]

ИСН в сообщении #680182 писал(а):

это какое такое множество - конечное?

Декартова степень по условию конечна...А множество может быть и бесконечным... Да, ИСН! Опять я доказываю частные случаи, да ещё не совсем правильно. Что ж, значит придётся доказывать сюрьективность отображения f.

[bot]

Nikolai Moskvitin в сообщении #680184 писал(а):

Декартова степень по условию конечна...

Это кто Вам сказал?

[gris]

Для доказательства равномощности достаточно построить биекцию. А Вы, мне показалось, хотите показать, что любое отображение между равномощными множествами обязано быть биективным

+ я так понял, что "конечная декартова степень" означает конечное число "сомножителей", но не конечность степени как итогового множества.

[Nikolai Moskvitin]

gris в сообщении #680193 писал(а):

А Вы, мне показалось, хотите показать, что любое отображение между равномощными множествами обязано быть биективным

Да, gris, для меня, видимо, существование объекта означает его универсальность. :) И замечателен пример с двумя различными и неверными трактовками одного и того же объекта. Если отображение между равномощными множествами не обязано быть биективным, значит, оно не обязано быть инъективным или сюрьективным. Если всё правильно, то данное отображение (именно конечной декартовой степени счётного множества именно на счётное множество) инъективно. Значит, надо добавить условие $f(X^k)=N$ и построить пример по нему. Но ведь я не знаю ни одного элемента $X^k$. Как здесь построить биекцию?

[gris]

Для конечных равномощных множеств из инъективности или сюръективности отображения следует биективность.
Но уже для счётных это не так.
Можно представить себе $\mathbb N^k$ как множество точек с натуральными координатами в k-мерном пространстве и организовать биекцию с $\mathbb N$ как способ пересчёта таких точек.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin, я советую вам попытаться выбросить из головы ваши текущие представления о том, что такое множества и отображения, и осознать эти понятия заново. Такое ощущение, что отображение для вас — вещь в себе. Вот что значит ваше высказывание: "Если отображение между равномощными множествами не обязано быть биективным, значит, оно не обязано быть инъективным или сюрьективным"? Во-первых, это тавтология, во-вторых, если бы вы держали в голове хотя бы парочку примеров того, что такое отображение, вы бы никогда такого не написали. Пример: отображение из $\mathbb N$ в $\mathbb N$, которое любому натуральному числу ставит в соответствие число $23$. Оно неинъективно и несюръективно, но между двумя равномощными множествами.

Nikolai Moskvitin в сообщении #680196 писал(а):

Если всё правильно, то данное отображение (именно конечной декартовой степени счётного множества именно на счётное множество) инъективно.

Какое данное отображение? У вас нету никакого отображения. У вас есть два множества, и вам нужно предъявить отображение между ними, которое окажется биективным.

Nikolai Moskvitin в сообщении #680196 писал(а):

Но ведь я не знаю ни одного элемента $X^k$.

[Здесь была шутка про аксиому выбора] Да ладно.

[Nikolai Moskvitin]

Joker_vD в сообщении #680202 писал(а):

— вещь в себе.

Я иначе и не пойму, что это такое, пока не представлю себе этот объект :) Мне хочется увидеть его :)

gris в сообщении #680201 писал(а):

$\mathbb N^k$

Но ведь счётное множество не обязано быть натуральным множеством (а я сам же и ошибся в этом).

Joker_vD в сообщении #680202 писал(а):

[Здесь была шутка про аксиому выбора] Да ладно.

Действительно не знаю! Я ведь нигде не читал, например, что счётное множество обязано включать натуральные числа. Если это так, тогда знаю :).

[ИСН]

Стало значительно лучше, но кое-где остались сложные щщи. Что такое "натуральное множество", например? Ведь нет такого понятия.

[Joker_vD]

Nikolai Moskvitin в сообщении #680207 писал(а):

Я иначе и не пойму, что это такое, пока не представлю себе этот объект :) Мне хочется увидеть его :)

Так нарисуйте два кружочка, расставьте в них точки и проведите стрелки от точек левого кружочка к точкам правого. Вот эта картинка — вполне себе отображение. Левый кружок — область определения, точки в нем — элементы области определения, правый кружок — область прибытия, точки в нем — элементы области прибытия, набор всех проведенных стрелок — это правило соответствия. (Я не знаю, как там точно Курош называет области опредления и прибытия, а смотреть лень, извините).

Nikolai Moskvitin в сообщении #680207 писал(а):

Действительно не знаю! Я ведь нигде не читал, например, что счётное множество обязано включать натуральные числа. Если это так, тогда знаю :).

Пусть у вас есть $X$ — счетное множество. Это значит, что есть какое-то биективное $\varphi\colon \mathbb N\to X$. Вы его точно не знаете, но это и не надо — главное, оно есть (по условию). Тогда элементом $X$ будет, например, $\varphi(1)$. А элементом $X^k$ будет, например, $(\varphi(1),\varphi(2),\dotsm\varphi(k))$. Или еще что.

[ИСН]

Счётное множество не обязано состоять из натуральных чисел. Оно может состоять из белых кроликов, например. Но если между ним и $\mathbb N$ установлена биекция (а она точно установлена - в этом смысл понятия "счётное"), то - см. сообщение выше.

[gris]

В математике как правило не различают изоморфные объекты. В этом величайший смысл абстрагирования. При рассмотрении множеств, не несущих на себе никакой структуры, изоморфными можно считать просто равномощные множества. В этом смысле пять яблок и пять собак абсолютно неразличимы. Как неразличимы любое счётное множество и множество натуральных чисел.