Помогите вычислить значение выражения

[ain1984]

Уважаемые участники форума! Помогите, пожалуйста, найти ошибку в решении школьного задания:

Вычислите значение выражения:

$$\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4b}-a}$$

при $a=\sqrt{2}$, $b=\sqrt{3}$

Привожу свою попытку решения.

Сначала упрощаем данное выражение:

$$\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2}{4b}-\frac{4ab}{4b}}$$

$$\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{4b}}$$

$$\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\sqrt{\frac{a^2-2ab+b^2}{4b}}$$

$$\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2}{4b}}$$

$$\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\frac{a-b}{2\sqrt{b}}$$

$$\frac{a \cdot{a^2}}{2a^2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}\cdot{a^2}\cdot{\sqrt{b}}}{2a^2\sqrt{b}}+\frac{2b^2\cdot{2\sqrt{b}}}{2a^2\sqrt{b}}+\frac{\left(a-b\right)\cdot{a^2}}{2a^2\sqrt{b}}$$

$$\frac{a^3-a^2b+4b^2\sqrt{b}+a^3-a^2b}{2a^2\sqrt{b}}$$

$$\frac{2a^3-2a^2b+4b^2\sqrt{b}}{2a^2\sqrt{b}}$$

$$\frac{a^3-a^2b+2b^2\sqrt{b}}{a^2\sqrt{b}}$$

Подставляем значения $a$ и $b$:

Если $a=\sqrt{2}$, $b=\sqrt{3}$, то

$$\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\cdot{3}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$$

$$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}(3-1)}{\sqrt{3}}$$

$$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

А в задачнике ответ $3$. Где ошибка?

[Cash]

$\sqrt{(a-b)^2} \neq a-b$

[Sonic86]

Проще сразу подставить.
Кроме того, если $b=\sqrt{3}$, то $\sqrt{b}\neq \sqrt{3}$

[ain1984]

Cash
Спасибо Вам большое. Я совсем забыл, что $\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$

-- 06.02.2013, 11:56 --

Sonic86
Вам тоже спасибо. Конечно, если $b=\sqrt{3}$, то $\sqrt{b}=\sqrt[4]{3}$

-- 06.02.2013, 11:58 --

Sonic86 в сообщении #680178 писал(а):

Проще сразу подставить.

Вы предлагаете подставить значения переменных непосредственно в первое выражение?

[Cash]

Можно и не сразу, с учетом того, что $b>a$
$\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\sqrt{\frac{\left(a-b\right)^2}{4b}} =\frac{a}{2\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{2}+\frac{2b^2}{a^2}+\frac{b-a}{2\sqrt{b}} = \frac{2b^2}{a^2}$

[ain1984]

Cash
Ещё раз спасибо. Теперь я всё понял.