Две задачи по аналитической геометрии

[Brukvalub]

Да, если только система правильно решена (я этого не проверял).

[pavelnix]

Спасибо - попробую так решить А проверю я первым способом

[Someone]

pavelnix писал(а):

Если не ошибся, то решение такое:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x_3 = - 3x_1^0 - \frac{5}{3}x_2^0 + 18} \\ {x_4 = - 2x_1^0 - \frac{4}{3}x_2^0 + 9} \\ \end{array}} \right. \]

По-моему, ошиблись. У меня все коэффициенты получились целыми.

[pavelnix]

1.

Someone писал(а):

pavelnix писал(а):

Если не ошибся, то решение такое:

\[ \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {x_3 = - 3x_1^0 - \frac{5}{3}x_2^0 + 18} \\ {x_4 = - 2x_1^0 - \frac{4}{3}x_2^0 + 9} \\ \end{array}} \right. \]

По-моему, ошиблись. У меня все коэффициенты получились целыми.

Спасибо - я проверю, но путь - то правильно - ведь главное путь решения

2. Вот я тут подумал и мне кажется, что во второй задаче я предложил не правильный путь решения

Я повторю условие и путь моего решения

Вторая задача:
Существует ли аффинное преобразование, переводящее точки

\[p_1 = (1,2)\]

и

\[p_2 = (1,3)\]

соответственно в точки

\[q_1 = (4,5)\]

и

\[q_2 = (4,6)\]

, а прямую

\[(2,3)+(1,0)t\]

- в прямую

\[(3,4)+(1,2)t\]

?
Сначало я параметризую точки, т.е. выберу точку

\[p_1 = (1,2)\]

и относительно ее

\[p_2 = (1,3)\]

будет представлять собой вектро

\[p_1p_2 = (0,1)\]

и т.д.

\[(4,5),(4,6),(2,3),(3,4)\]

Путь решения
Общий вид аффинного преобразования:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} X \\ Y \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} x \\ y \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Для двух точек:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 5 \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 4 \\ 6 \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Найдем неподвижню точку, как пересечение прямых:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 0 \\ \end{array}} \right)t_1 = \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)t_2 = \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } \\ {y_0 } \\ \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_0 } \\ {y_0 } \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {2,5} \\ 3 \\ \end{array}} \right) \]

Для неподвижной точки тоже запишем:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {2,5} \\ 3 \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {2,5} \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Из этих трех матричных уравнений найдем

\[A,B,C,D,E,F\]

Далее для точки принадлежащей первой прямой (но не для точки пересечения) запишем преобразование:

\[ \left( {\begin{array}{*{20}c} {x_1 } \\ {y_1 } \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} A & B \\ D & E \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 \\ 3 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} C \\ F \\ \end{array}} \right) \]

Осталось проверить

\[ (x_1 ,y_1 ) \in \left( {\begin{array}{*{20}c} 3 \\ 4 \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 \\ 2 \\ \end{array}} \right)t \]

---------------------
Найдем неподвижню точку, как пересечение прямых: - это разве будет неподвижная точка ?:(

[Brukvalub]

pavelnix писал(а):

Найдем неподвижню точку, как пересечение прямых: - это разве будет неподвижная точка ?Sad

Здесь лучше воспользоваться тем, что направляющий вектор первой прямой должен перейти в некий направляющий вектор второй прямой.