2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка погрешности численного рекурсивного интегрирования
Сообщение01.02.2013, 12:02 


01/02/13
2
Добрый день.
Передо мной встала задача вычисления значений функции определяемой рекурсивно через интегрирования самой себя порядком ниже.
В упрощеном виде всё выглядит примерно так:

$\left\{\begin{matrix}
 f_n(t) = &\int_a^b{f_{n-1}(h_n(x))dx} \\
 f_1(t) = &g(t)
\end{matrix}\right.$

Функции $h_n(t)$ и $g(t)$ - обычные, не рекурсивные. Индекс $n$ у $h_n(t)$ призван показать что для разных $n$ она вычисляется по-разному.

Интегралы не берутся, значения нахожу численно, квадратурными формулами.
У меня есть с чем сравнивать полученные результаты (некоторые таблицы значений данной фунции представлены в литературе, также я посчитал её методом Монте-Карло) и результаты выглядят корректно.
Однако у меня вы получается оценить погрешность вычисления.

Предположим, для определенности, что мы интегрируем методом средних прямоугольников. Оценить погрешность при вычислении лишь самого верхнего в рекурсии интеграла будет неверным - ведь значение функции в каждом из узлов на которые разбиваем интервал интегрирования так же получено с погрешностью.
Оценим погрешность уровня $n$ как $\frac{h^2(b - a)}{24} M_n$ где $M_n = \max_{[a, b]}{f''_n}$
а $h = \frac{b - a}{k}$, где $k$ - количество узлов.

Но значение функции в каждом из $k$ узлов получено с погрешностью $\frac{h^2(b - a)}{24} M_{n - 1}$, что дает суммарную погрешность от вычисления функции в узлах $k\frac{h^2(b - a)}{24} M_{n - 1}$

И т.д.

Каким же образом верно оценить погрешность?
Перемножать все эти погрешности, видимо, будет неверным, сделав это получим огромное число в $k^{\frac{(n - 2)(n - 1)}{2}}\left(\frac{h^2(b - a)}{24}\right)^{n-1}M_n M_{n - 1} \ldots M_2$

Насколько обосновано в таком случае пользоваться методом двойного счета?
Подсчитав интегралы с $k$ и $2k$ узлами на каждом уровне имеем ли мы право считать относительную погрешность как $\frac{\left|f_{n,k}(t) - f_{n,2k}(t)\right|}{\max{(\left|f_{n,k}(t)\right|, \left|f_{n,2k}(t)\right|)}}$ ?

Посоветуйте что можно предпринять в данной задаче.
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности численного рекурсивного интегрирования
Сообщение02.02.2013, 11:24 


17/10/08
1078
Выражение справа от $f_n(t)$ не зависит от $t$. Поэтому, написанное остается загадкой. По крайней мере, для меня.

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка погрешности численного рекурсивного интегрирования
Сообщение02.02.2013, 19:54 


01/02/13
2
Мда, доупрощался. Конечно же это ошибка. На деле $b$ в верхнем пределе является функцией от $t$ .

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group